《偏导数同济大学》PPT课件

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1、一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数三、小结第二节偏导数一、偏导数的定义及其计算法1、偏增量的概念设在点的某个邻域内有定义，当从取得改变量而保持不变时，函数得到一个改变量称为在点关于的偏增量.称为在点关于的偏增量.2、二元函数在点(x0,y0)的偏导数记为注意:记为3、偏导函数偏导数的概念可以推广到三元以上函数如在处对x的偏导数4、偏导数求法(1)求关于x的偏导数，把z=f(x,y)中的y看成常数，对x仍用一元函数求导法求偏导.(2)求关于y的偏导数，把z=f(x,y)中的x看成常数，对y仍用一元函数求导法求偏导.例2设，求证.证原结论成立．例2设，求证.解

2、[法一]先求偏导数再代入具体点.[法二]先固定y=2或x=1，再对x或y求偏导数.解法2:求的两种常用方法：[法一]先求偏导数再代入具体点.[法二]先将但[法二]并不总是适用，如求例4设，求5、有关偏导数的几点说明：例5已知理想气体的状态方程（为常数），求证：.证(2)求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；解(3)偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续.偏导数存在一元函数中在某点可导连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，连续.多元函数中在某点连续偏导数存在，连续偏导数存在.可见，二元函数在一点处偏导数存在和连续没有必然的联系.6、偏导数的几何意义偏导数就

3、是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率.偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率.二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线对y轴的例6求曲线在点处的切线与y轴正向夹角.解二、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们的偏导数是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:纯偏导混合偏导例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)先关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶偏导数为:类似可以定义更高阶的偏导数.定义：

4、二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.解解说明因为初等函数的偏导数仍为初等函数，而初等函数在其定义区域内是连续的，故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.定理可以推广，例如：对三元函数u=f(x,y,z),当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有若在f(x,y)的表达式中将x换为y，同时把y换为x时，表达式不变，则称f(x,y)对x,y具有轮换对称性.对有轮换对称性的函数，若已经求得，则只要在的表达式中将换为，同时把换为即可得到.解例设，求函数的轮换对称性可推广到三元以上的函数.偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数（偏增量比的极限）纯

5、偏导混合偏导（相等的条件）三、小结思考题思考题解答不能.例如,练习题例如：练习题答案