常微分方程的几何解释

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1、第二章基本定理2.1常微分方程的几何解释2.2解的存在唯一性定理2.3解的延展2.4奇解与包络G2.1常微分方程的几何解释2.1.1线素场一阶微分方程右端函数在区域内有定义.以为中心,作一单位线段,使其斜率为,称为在点的线素.这样在区域G上确在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.定了一个线素场(又称方向场).K为参数例1试讨论方程所确定的线素场.解除Y轴无定义外,方程在两个半平面上都确定了线素场.易见在点的线素与过原点与该点的射线重合.定理2.1L为(2.1)的积分曲线的充要条件是:在L上任一点,L的切线方向与(2.1)所确定的线素场在该点的线素方向重合;即

2、L在每间点均与线素场的线素相切.证明必要性设L为(2.1)的积分曲线,其方程为,则函数为(2.1)的一个解.于是,在其有定义的区间上有上式左端为曲线L在点的切线斜率.右端恰为方程(2.1)的线素场在同一点处的线素斜率素场的线素方向重合,则切线斜率与线素斜率应当相等.于是,在函数有定义的区间上,恒有等式的切线与线素场在该点线素重合.整个曲线L都是这样.充分性设方程为上式左端为曲线L在点的曲线L,在其上任何一点这个等式恰在此时好说明为方程(2.1)的解处,它的切线方向都与方程(2.1)的线从而曲线运动L为方程的积分曲线.直观地说:积分曲线是始终”顺着”线素场的线素方向行

3、进的曲线.例2例3积分曲线方向场向量场的示意图积分曲线例7它在这个区域上确定了一个线素场.下面利用线素场求出经过的近似积分曲线.把假设函数2.1.2欧拉折线----求过一点的近似积分曲线在给定区域上连续且有界.于是等分,其分点为:先求出用经过斜率为的直线段来近似积分曲线,其方程为求出直线上横坐标就很接近积分曲线上的点如果h很小处的点的纵坐标因连续.于是由点出发的斜率为的直线段又近似于原积分曲线.它的方程为用经过求出直线上横坐标处的点的纵坐标类推,可求出方程(2.1)的真正解在各处的近似值这样求得积分曲线的近似折线称为欧拉折线.这也是微分方程数值解讨论的计算方法之一.

4、2.1.3初值问题解的存在性佩亚诺定理给出了:右端函数连续保证初值解的存在性.(在下一节讨论)需解决的问题作业P771.(1)(2)3.