超几何级数与常微分方程.doc

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1、黎曼小传之超几何级数与常微分方程胡作玄(中国科学院系统科学研究所)　　　　黎曼在1857年的论文中把超几何级数称为高斯级数．超几何级数最早是欧拉在他的《积分学原理》第二卷(1769)给出的．他研究超几何方程　　并给出其级数解　　他称之为超几何级数．他在其他论文中还给出其积分表示和一些关系式．高斯在1812年的论文中把y记作F(α，β，γ；x)，他认识到超几何级数几乎包含天文学计算中用到的所有微扰展开式，特别包含贝塞尔函数、勒让德(球)函数为其特例．高斯证明超几何级数的收敛性，建立了一些关系式．E．E库默尔(Kummer)在1836年进一步得出超几何级

2、数许多性质及关系式．黎曼的成就在于他把超几何级数及超几何微分方程由实域扩充到复域，并且避开研究函数必需用其具体表达式来计算的传统而用公理的方法得出高斯、库默尔等人通过繁复计算才得出的关系式．他最重要的成就在于把复变函数论引进常微分方程而预示微分方程的解析理论．他的具体作法是引进复值函数P函数　　它满足三个条件：(1)除了a，b，c之外，P是x的有限单值函数；　　　　　　　在x=a处仍是单值，且既≠0，也≠∞，同样，P之数可表为　　　分别在x=b，x=c具有类似性质，且6个量α，β，γ，α′β′，γ′满足下面两个条件：①差α-α′，β-β′，γ-γ′均

3、非整数；②α＋β+γ+α′＋β′+γ′=1．　　黎曼在1857年2月写的一篇遗稿(1876年发表)“具有代数系数lineareDifferentialgleichungenmitalgebraischenCoefficienten)中，引进了单值变换(Monodromy)．这思想在黎曼关于高斯级数的论文中已见端倪．高斯知道，超几何微分方程有3个奇点0，1，α，它作为二阶微分方程有两个独立特解y1和y2，其他解均为这两解的线性组合．黎曼的思想是当y1，y2沿绕奇点的路径变化时必经历线性变换对于所有绕奇点的路径，这些变换组成群．他证明对于超几何微分方程，

4、单值群的性质可完全决定群函数的性质．在遗稿中，他把结果推广到m个奇点n个独立函数的情形，他证明给定线性变换后，这n个独立函数满足一个n阶线性微分方程，但他没有证明这些奇点(支点)和这些变换可以任意选取，从而留下了著名的黎曼问题．希尔伯特把它列入23个问题中的第21问题，从而被称为黎曼-希尔伯特问题．在一些肯定情形解决之后，1992年，俄国数学家通过反例宣布这个问题已被否定解决．胡作玄(中国科学院系统科学研究所)