微分方程及其解的几何解释

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1、§2微分方程及其解的几何解释一．[内容简介]本节给出微分方程及其解的几何解释.二．[关键词]积分曲线，线素场，等斜线三．[目的与要求]弄清方向场和微分方程的积分曲线的几何意义.四．[教学过程]由§1可以看到，给定平面上一个单参数曲线族，可以通过求微分得方程。从这两个方程消去任意常数，即得此曲线族所满足的一阶微分方程。反过来，当某些一阶微分方程的通解或通积分已经找到后，也可以用平面上的一个曲线族来表示它。现对一阶微分方程来讨论求解此方程的几何意义。设有一平面区域（可能就是全平面），是内给定连续函数。设有

2、一解其中是这个解的存在区间。显然函数在平面上的图象是一条光滑曲线，它称为方程的一条积分曲线，仍记为。任取一点，即，。由于满足方程，所以从导数的几何意义得出，曲线在点的切线斜率为。上述等式说明：一阶微分方程的积分曲线是这样一条曲线，在它上面的每一点的切线斜率等于已知的。这就是一阶微分方程的解的几何意义。下面介绍线素场的概念。给了一阶微分方程，对于区域内每一点，都可以作一斜率为的小直线段，来标明积分曲线在该点的切线方向，称为微分方程在点的线素。对于区域内每一点都这样作，而称区域连同上述全体线素为微分方程的

3、线素场（或方向场）。由此可见，在方程的积分曲线上的每一点处，积分曲线与的线素场的线素相切；反之，若一条曲线在它上面的每一点与的线素场的线素相切，则该曲线就是微分方程的积分曲线。在线素场中，线素斜率等于常数的那些点所构成的曲线，称为等斜线，微分方程的等斜线方程为，其中是参数。给出参数的一系列充分接近的值，就可以得到足够密集的等斜线族，借此可以近似地作出微分方程的积分曲线。当然，要想更精确地作出积分曲线，还必须进一步弄清楚积分曲线的极值点和拐点等。显然，极值点和拐点如果存在的话，一般他们分别满足方程及。利

4、用线素场可以近似地描绘出积分曲线，在利用线素场研究积分曲线的分布状况时，作出等斜线常常是有帮助的。例1作出微分方程的线素场。解在平面上，除原点外，方程都规定了线素场，如图所示。容易看出，对任意常数，直线族是方程的积分曲线。只要让取值无穷，或者考察方程，可知轴也是积分曲线。由于方程在原点处不能规定线素，因此，它的积分曲线应是不包含原点的直线族，或者更确切地说是从原点出发的半射线。例1作出微分方程的线素场。解方程的线素场由函数确定，由于。可知此线素场在各点上的线素的方向与的线素场的方向垂直。换句话说，在过

5、坐标原点的每一条直线上，微分方程的线素方向都与该直线垂直，如图。所以方程的积分曲线是以坐标原点为中心的同心圆族，其上每一点恰好与线素场在该点的方向相切。注意：当时，方程失去意义。但从线素场的观点看，在轴上的任一点，线素场的方向是竖直的。为此我们可以用方程代替原方程，而将看作的单值函数。若将一阶方程写成关于和的对称形式：则当时，在点附近，方程等价于。当时，在点附近，方程等价于。而且，当和时，这两种表达方式是一致的，即他们给出相同的线素场。只有当时，在点读方程无法定义上述线素，这样的点称为微分方程的奇异点

6、。将改写成对称形式，即由此积分，即得这种用隐函数方式给出的通解，叫做方程的通积分。习题1—21．作出如下微分方程的线素场：。解令（为常数），因而在圆上的每一点处，线素场的方向都相同。取，就能作出如图的线素场的大致情形。2．利用线素场研究如下微分方程的积分曲线：。解记，由知线素场关于原点对称。等斜线方程（即）表示双曲线族。取，得双曲线，即积分曲线经过双曲线时，其切线斜率为。曲线将平面分为三部分。因为是全平面的连续函数，由连续函数的局部保号性知，在每一部分上，都保持固定的符号（见图）。容易验证本身不是积分

7、曲线，积分曲线和它相交时，由减域进入它的增域，或由增域进入减域。因此积分曲线的极值点都分布在上。又在此曲线上，且，可见积分曲线在双曲线的一支（对应于）上取得极小值，在另一支（对应于）上达到极大值。最后为确定积分曲线的凸凹情况，令，得（*）此曲线将平面分为两部分（见图），在曲线（*）上方，，积分曲线向上凹，在曲线（*）下方，，积分曲线向上凸，可见积分曲线经过时，凸凹性发生变化。由以上分析，我们知道了积分曲线的增域和减域，极大值点和极小值点的分布，凹域和凸域，拐点的分布，从而可作出积分曲线的分布略图（见图

8、）。若再描出一些等斜线的话，那么，积分曲线的分布就可以显得更精确些。