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《228 微分方程及其解几何意义分离变量方法.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1.2微分方程基本概念及其几何解释［教学内容］1.介绍微分方稈及其解的概念、方稈分类；2.介绍一阶微分方稈及其解的几何解释；3.引入变量分离方法求解一阶微分方程；4.介绍积分常数由来引入微分方程定解条件-初值条件和边值条件.［教学重难点］重点是知道微分方程分类和定解条件，难点是如何从儿何角度来理解一阶微分方稈及其解.［教学方法］自学1、2；讲授3、4,5课堂练习［考核目标］1.会分清常微分方稈和偏微分方程、能认清线性微分方程和非线性微分方稈、能知道微分方稈的阶数；2.会用分离变量方法求解一阶微分方稈通解及其初值问题；3.知道函数相关性和函数无关性，并会
2、用Jacobi矩阵来判别;4.会用方向场和等倾线方法来描述微分方程解的性质.1.认识微分方程及其类型(1)学=2x,(2)勒二力(3)学=(sinx)・y+cx,(4)学二y'+l,(5)y二x•学+sin(学)dxdxdxdxdxdx(7)d2ytdy1dt21-tdt1-t(喘卜哼+□，(9)將2害du(10)a—+Pv=0?⑴)yz^—xZy=o,dxdy(12)a2ua2ua2udx2dy2dz2=0,(13)a学+卩字+宀0dx.dy(1)方程：是含有”未知"的等式，象2+3=5虽是等式但不是方稈.若未知的是一个数，那就是代数方稈；若未知的是
3、一个函数，那就是函数方程.上面13个等式都是方稈，未知的都是函数，因此上面13表达式都是函数方稈.(2)常(偏)微分方稈：函数方稈屮未知的是一元函数且含有其导函数，则称英为常微分方稈(如上例(1卜(9))；若函数方程未知的是多元函数且含有偏导数，贝U称为偏微分方程.(如上例(10)-(12))(3)线性(非线性)微分方程：若方程屮出现的未知函数及其导函数或偏导函数都是一次的，则称其为线性微分方程，这里分类不管方程屮白变量以何种函数形式出现。(1)・(3)、(7)、(9)、(10)・(⑵都是线性的；(4)-(5)⑻、(13)不是，出现未知函数护和siny
4、*.(4)方程的阶数：微分方程屮出现的未知函数导函数或偏导函数最高阶数称之为方程的阶数.例如⑴・(5)、⑻、(10)、(13)都是一阶微分方程;(7)、(12)是二阶微分方程；(9)是四阶微分方程.练习9.教材P26习题1.2.微分方程的解与定解条件考察落体问题，以铅真向上的方向建立玄线坐标系，设落体在t时刻位置为x,则由牛顿第二定律知，x=-g,其中g为重力加速度，负号是由于力方向和X轴正向相反，文=不・考察函数x=(p(t)=-^tx=v(t)=-^t2-t+l,将上述两个函数代入方程x=-g,易2见：左端=右端.于是我们称(P⑴理(t)为方稈的
5、两个解.—•般地，考察微分方程^=f(x,y).若己知函数y=0(x)代入上述方程使得微分方程等式dx成立，则称俨(x)为微分方程的一个解.练习10.教材P27习题2.(5)、(6)；习题3.(2)、(6).改写方程为微分形式(乎)=一各«¥)=・gdt,fdA=f-gdt,学=_gt+dtdtdt」dt」dtdx=(-gt+C])dt,Jdx=j(-gt+c,)dt,x=-gf'/2+C]t+c2,其中c1?c2为积分常数.这里大家很快发现：微分方程x=-g解不唯一，有无穷多个.这里原因是确定解的条件不足解释如下：⑴在时刻t=0,假设落体位置x(0)
6、=10,落体速度是x )=0,则从10米处白由下落，规律如下x,(t)=-gt2/2+10；(1)在时刻t=0,假设落体位置x(0)=20,落体速度是X*(0)=0,则从20米处白由下落，规律如下X2(t)=-gt'/2+20；(2)在时刻t=0,假设落体位置x(0)=10,落体速度是x*(0)=10,则从10米处先上抛再白由下落,规律如下x3(t)=-gt2/2+10t+10；⑷在时刻t=0,假设落体位置x(0)=105落体速度是乂(0)=-10,则从10米处先下抛后下落，规律如下x4(t)=-gt2/2-10t+10.(1)经观察在时刻t=0,落
7、体位置x(0)=10,在时刻t=2,落体位置为x(2)=20,则先上抛再下落，规律如下x5(t)=-gt2/2+20t+10,这里取g=10m/s2.在上述5屮情形下方程的解部是确定的，其屮(1)・(4)是给出了初始时刻的位置和速度，也就是给出某个时刻的未知函数及其一阶导数的值，这组条件就称Z为初值条件；(5)屮给出了两个不同时刻的位置，也就是给出了x(0)和x(2)的值，这组条件称Z为边值条件.一般地，我们称含有两个独立任意常数c,,c2的解为x=-gt2/2+c,t+c2为二阶方稈艾二通解，称在给定初值条件或边值条件下的解为方程的特解，初值条件和边
8、值条件统称为定解条件，用来确定通解屮相应独立常数.在该例题中C
9、对皿于初始速度，C?对应于初始
