用分离变量法解常微分方程(1)

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1、用分离变量法解常微分方程江苏科技大学土木工程与建筑学院2012级李光129100009徐赟129100010摘要：分离变量的思想在解微分方程中有着广泛的应用,分离变量法是求解微分方程的一种常用的辅助方法.通过对原方程的变量（因变量或自变量）用新的变量替换,使原方程化为相对简单的和我们能解的方程类型,从而达到求解的目的.本文通过实例给出了分离变量在求解一阶微分方程中的具体应用.关键词：常微分方程;一阶;分离变量Abstract:Separationvariableofthoughtinsolutionsdifferentialequat

2、ioninthehaswidelyofapplication,separationvariablemethodissolutiondifferentialequationofacommonofsecondarymethod.byonoriginalequationofvariable(duetovariableorsincevariable)withnewofvariablereplace,makesoriginalequationintorelativesimpleofandwecansolutionsofequationtype,

3、toreachedsolutionofpurpose.thisbyinstancetoouthasseparationvariableinsolutionaorderdifferentialequationintheofspecificapplication.Keywords:Ordinarydifferentialequations;Firstorder;Separationofvariables第14页共14页引言微分方程的类型是多种多样的,它们的解法也是各不相同,在许多的教材及文献中都有相应的归纳和总结.分离变量法是求解微分方程

4、的一种常用的辅助方法,应用它可以把一个微分方程化为已经知其求解方法和步骤的方程，进而求出原微分方程的解.在分离变量中的变量替换主要分为因变量的变量替换和自变量的变量替换两类.在求解微分方程中应用的比较多的就是因变量的变量替换.正文部分分离变量法是求解一阶常微分方程比较常用、简单的方法.下面就能分离变量的常微分方程归纳如下：１直接可分离变量的微分方程1.1形如=(1.1)的方程，称为变量分离方程，这里，分别是的连续函数.如果(y)≠0，我们可将（1.1）改写成=,这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到　　　　　通解：=+c.　　　　

5、　　　　(1.2)其中，c表示该常数，，分别理解为，的原函数.常数c的取值必须保证（1.2）有意义.使的是方程(1.1)的解.第14页共14页例1求解方程的通解.解：(1)变形且分离变量：(2)两边积分：，得.可以验证也是原方程的解，若视和是平等的，则也是原方程的解.我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题.例2曲线上的点处的法线与轴的交点为，且线段被轴平分.求曲线的方程.分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线的方程，用大写的表示法线上的动点，用小写的表示曲线上的点，为过点的法线的斜率.解：由题意得.从而法线

6、的方程为.图1又被轴平分，与轴交点的坐标为，代入上式，得.整理后，得第14页共14页，分离变量，解得，其中c为任意正数，如图1.２变量可替换的微分方程通过上面的介绍，我们已经知道了什么方程是变量分离方程.下面，我们再介绍几种可化为变量分离方程的类型:2.1齐次方程形如(1.3)的微分方程，称为齐次微分方程.这里是的连续函数.对方程(1.3)做变量变换，(1.4)即，于是.(1.5)将(1.4),(1.5)代入（1.3），则原方程变为，整理后，得到.(1.6)方程（1.6）是一个变量分离方程.可按前面(1.1)的方法求解，第14页共14

7、页然后代回原来的变量，便得到（1.3）的解.例3求微分方程的通解.解：原方程化为，即，于是，令，即，将代入该方程，得，整理，即有，分离变量，得，两边积分，得，将代回来，得，，即，其中为任意常数.另,即也是原方程的解，但此解课包含于通解之中.故,方程的通解为.第14页共14页2.2形如(1.7)的方程，这里均为常数.此方程经变量变换可化为变量分离方程.我们分三种情形来讨论：2.2.1的情形.这时方程化为有通解，其中.2.2.2的情形.令，这时有是变量分离方程.2.2.3的情形.如果方程中不全为零，方程右端分子、分母都是的一次多项式，因此

8、，第14页共14页.（1.8）代表平面上两条相交直线，设交点.若令，.则（2.2）化为，.从而（2.1）变为.(1.9)因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原方程（2.1）的解.如果方程（2.1）中可不必求解