数学人教版八年级下册一次函数与方程，不等式

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1、19.2.3一次函数与方程、不等式【知识与技能】1.理解一次函数与方程、不等式的关系.2.会根据一次函数的图象解决一元一次方程、不等式、二元一次方程组的求解问题.【过程与方法】学习用函数的观点看待方程、不等式，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想.【情感态度】经历方程、不等式与函数关系的探究，学习用联系的观点看待数学问题.【教学重点】一次函数与方程、不等式关系的应用.【教学难点】一次函数与方程、不等式关系的理解.一、情境导入，初步认识探究：1.解方程2x+20=0.2.在平面直角坐标系中画出一次函数y=2x+20的图象.问题1直线y=2x+20

2、与x轴交点横坐标是方程2x+20=0的解吗？为什么？问题2这两个问题是同一个问题么？由学生完成以上任务的画图与思考，教师走入每个学习小组，指导交流与总结，适时对学生的发言进行评判.【归纳总结】从“数”的角度看，方程2x+20=0的解是x=-10；从“形”的角度看，直线y=2x+20与x轴交点的坐标是（-10，0），这也说明，方程2x+20=0的解是x=-10.由于任何一个一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax

3、+b，确定它与x轴交点的横坐标的值.二、思考探究，获取新知问题1一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？思考：（1）本题的相等关系是什么？（2）设再过x秒物体速度为17m/s，能否列出方程？（3）如果速度用y表示，那么能否列出函数关系式？（4）上面不同的解法各有何特点？解法1设再过x秒物体速度为17m/s.由题意可知：2x+5=17，解得x=6.解法2速度y（m/s）是时间x（s）的函数，关系式为y=2x+5.当函数值为17时，对应的自变量x值可得2x+5=17.求得x=6.解法3由2x+5=17可变形

4、得到2x-12=0.从图象上看，直线y=2x-12与x轴的交点为（6，0）.故x=6.问题21.解不等式5x+6＞3x+10.【思考】不等式5x+6＞3x+10可以转化为ax+b＞0的形式吗？所有的不等式是否都可以转化成这种形式呢？2.当自变量x为何值时函数y=2x-4的值大于0？【思考】上述两个问题是同一个问题吗？3.问题2能用一次函数图象说明吗？【教学说明】引导学生解不等式后思考问题，并师生共同归纳：（1）在问题1中，不等式5x+6＞3x+10可以转化为2x-4＞0，解这个不等式得x＞2.（2）解问题2就是要不等式2x-4＞0，得出x＞2时函

5、数y=2x-4的值大于0.因此它们是同一问题.（3）如图，函数y=2x-4与x轴的交点为（2,0），且这个函数的y随着x的增大而增大，故要求当函数y=2x-4的值大于0时的自变量的值，只需在图中找出当函数图象在x轴上方时的x的值即可，由图可知，当x＞2时，函数y=2x-4的值大于0.问题3试用一次函数图象法求解从中总结你的体会.【归纳总结】上面的方程组可以转化为其本质是求当x为何值时，两个一次函数的y值相等，它反映在图象上，就是求直线与y=2x-1的交点坐标.三、典例精析，掌握新知例1若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，求常数k

6、的值是多少？【分析】（1）一次函数的图象与两坐标轴围成的图形是直角三角形，两条直角边的长分别是图象与x轴的交点的横坐标的绝对值和与y轴的交点的纵坐标的绝对值.（2）确定图象与两条坐标轴的交点坐标可以通过令x=0和y=0解方程求得.解：设直线y=kx+6与x轴和y轴分别交于点A、B.令y=0，得x=-；令x=0，得y=6.∴A（-，0），B（0，6），∴

7、OA

8、=

9、-

10、，

11、OB

12、=6.∴S=OA·OB=

13、-

14、×6=24.

15、k

16、=.∴k=±.【教学说明】教学中引导学生利用一次函数解析式和方程的关系先得出直线与两个坐标轴的交点，再借助直线y=kx+6与

17、两坐标轴所围成的三角形面积是24来构造方程.例2已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，求（1）当x为何值时，kx+b＞0；（2）当x为何值时，kx+b=0；（3）当x为何值时，kx+b＜0.解：（1）当x＜3时，kx+b＞0；（2）当x=3时，kx+b=0；（3）当x＞3时，kx+b＜0.【教学说明】寻找kx+b＞0的解集，实际上就是寻找当x为何值时，一次函数y=kx+b的图象在x轴的上方；寻找kx+b＜0的解集，实际上就是寻找x为何值时，一次函数y=kx+b的图象在x轴的下方.例3用作图象的方法解方程组【分析】首先将两个方程分别写成一次函数的

18、形式，然后在直角坐标系中作出它们的图象，观察得出两直线的交点坐标，从而得出方程组的解.解：由x+y=3，可得y=3-x.由3x-y=5，