《hou83曲面方程》PPT课件

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1、1.空间直线方程一般式对称式参数式§8.6内容回顾（点向式，标准式）两点式过两点直线2.线与线的关系直线夹角公式:平面:L⊥L//夹角公式：3.线与面间的关系直线L:4、有轴平面束5、点到直线的距离(知道怎么求)四、二次曲面一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面§8.3曲面及其方程第八章一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明:动点轨迹为线段AB的垂直平分面.引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解:设轨迹上的动点为轨迹方程.(已知轨迹

2、求方程)定义1.如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).(主要研究旋转面)(主要研究柱面和二次曲面)故所求方程为例1.求动点到定点方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解:设轨迹上动点为即依题意距离为R的轨迹表示球面.(已知轨迹求方程)上下例

3、2.研究方程解:配方得此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为一个球面,或点,或虚轨迹.(已知方程求轨迹)定义2.一条平面曲线二、旋转曲面绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.(已知轨迹求方程)可推广到空间曲线绕某直线旋转建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕z轴旋转时,若点给定yoz面上曲线C:则有则有该点转到思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？总之,绕谁谁不变,另外一个正负根号换

4、.(根号下为另两个的平方和)例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.解:在yoz面上直线L的方程为绕z轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方例4.求坐标面xoz上的双曲线分别绕x轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕x轴旋转绕z轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为单叶…双叶…三、柱面引例.分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解:在xoy面上，表示圆C,沿曲线C平行于z轴的一切直线形成圆柱面.故在空间上过此点作对任意z,平行z轴的直线l,表示圆柱面在圆C上任取一点(已知方程求轨迹)定

5、义3.平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹叫做柱面.表示抛物柱面,母线平行于z轴;准线为xoy面上的抛物线.z轴的椭圆柱面.z轴的平面.表示母线平行于(且z轴在平面上)表示母线平行于C叫做准线,l叫做母线.一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于x轴;平行于y轴;平行于z轴;准线xoz面上的曲线l3.母线柱面,准线xoy面上的曲线l1.母线准线yoz面上的曲线l2.母线缺谁母线∥谁四、二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:放缩法和截痕法

6、其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为0)1.椭球面(1)范围：(2)图形:对球面令代入得则椭球面的草图为:(3)围成图形的体积为:(4)当a＝b时或…为旋转椭球面;当a＝b＝c时为球面.2.椭圆锥面椭圆在平面x＝0或y＝0上的截痕为过原点的两直线.可以证明,椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.①(椭圆锥面也可由圆锥面经x或y方向的伸缩变换得到）曲面沿y轴方向伸缩倍,得椭圆锥面3.单叶双曲面xoz面上双曲线绕z轴旋转一周得旋转单叶双曲面曲面沿y轴方向伸缩倍,得单叶双曲面其草图可用旋转单

7、叶双曲面代替4.双叶双曲面注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:单叶双曲面双叶双曲面考查yoz面上双曲线绕z轴旋转得旋转双叶双曲面曲面沿y轴方向伸缩倍,得双叶双曲面…5.椭圆抛物面特别,当a=b时为绕z轴的旋转抛物面.考查xoz面上抛物线绕z轴旋转得旋转抛物面曲面沿y轴方向伸缩倍,得椭圆抛物面…6.双曲抛物面（鞍形曲面）7.椭圆柱面8.双曲柱面9.抛物柱面用截痕法讨论(略),得其图形(草图)作业P312;4;7;8(1),(5);11内容小结1.空间曲面三元方程球面旋转曲面如,曲线绕z轴的旋转曲面:柱面如,曲面表示母线平行z轴的柱面.

8、又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.2.二次曲面三元二次方程椭球面抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面(马鞍面)双曲面:单叶双曲面双叶双曲面椭圆锥面:椭圆、双曲、抛物柱面斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方程平行于y轴的直线平行于yoz面的平面圆