《曲面及方程》PPT课件

《《曲面及方程》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三节曲面及其方程一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面四、二次曲面五、小结显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面的实例：一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的轨迹方程.化简得即【说明】动点轨迹为线段AB的垂直平分面.[引例]不在此平面上的点的坐标不满足此方程.[解]设轨迹上的动点为【定义1】如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,

2、z)=0的图形.(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,以下给出几例常见的曲面.故所求方程为【例1】求动点到定点方程.[已知轨迹求方程]特别,当M0在原点时,球面方程为【解】设轨迹上动点为即依题意距离为R的轨迹表示上(下)半球面.【例2】研究方程【解】配方得此方程表示:【说明】如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.[已知方程求轨迹]表示怎样半径为的球面.球心为一个球面,或点,或虚轨迹.*【例3】方程的图形是怎样的？根据题意有图形上不封顶，下封底．【解】用截痕法以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：(2)已知坐标间

3、的关系式(即方程)，研究曲面形状．如例2、例3该种情形重点讨论：旋转曲面该种情形重点讨论：柱面、二次曲面(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时，求曲面方程．如引例和例1(必要时需作图).二、旋转曲面【定义2】一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.[例如]旋转曲面的母线母线建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕z轴旋转时,若点给定yoz面上曲线C:则有则有该点转到【思考】当曲线C绕y轴旋转时，所得旋转曲面方程如何？【总结】（2）凡曲面方程中出现两个变量的平方项且系数相等者，一定是旋转曲面

4、.旋转轴是另一个变量对应的坐标轴（母线为平面曲线）（1）类似可写出xoy面、zox面上的曲线分别绕其坐标轴旋转所成的旋转曲面方程.【例3】试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.【解】在yoz面上直线L的方程为绕z轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方【结论】二次齐次式一定是锥面.若同时又有两项系数相等，则必为圆锥面.【例4】求坐标面xoz上的双曲线分别绕x轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.【解】绕x轴旋转绕z轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为三、柱面[引例]分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程【解】在xoy面

5、上，表示圆C,沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆柱面.故在空间坐标系中过此点作对任意z,平行z轴的直线l,表示圆柱面在圆C上任取一点其上所有点的坐标都满足此方程,【定义3】平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹叫做柱面.表示抛物柱面,母线平行于z轴;准线为xoy面上的抛物线.z轴的椭圆柱面.z轴的平面.表示母线平行于(且z轴在平面上)表示母线平行于C叫做准线,l叫做(直)母线.一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于x轴;平行于y轴;平行于z轴;准线:xoz面上的曲线l3.母线:柱面,准线:xoy面上的曲线l1.母线:准线:yoz面上的

6、曲线l2.母线:实例椭圆柱面，母线//轴双曲柱面，母线//轴抛物柱面，母线//轴【结论】若柱面的母线平行于坐标轴，则该柱面的方程是x，y，z的二元方程，且与其准线方程（在形式上）相同.其直母线平行于缺少的变量对应的坐标轴.四.二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本类型有:锥面、椭球面、抛物面、双曲面、柱面的图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为0)1.椭圆锥面椭圆在平面x＝0或y＝0上的截痕为过原点的两直线.可以证明,椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.①(

7、椭圆锥面也可由圆锥面经x或y方向的伸缩变换得到,见书P28-29)【特例】当a=b时为圆锥面.2.椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆(3)当a＝b时为旋转椭球面;当a＝b＝c时为球面.3.抛物面(1)椭圆抛物面特别,当a=b时为绕z轴的旋转抛物面.xyzo(2)双曲抛物面（马鞍面）xyzo4.双曲面(1)单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x轴；虚轴平行于z轴）平面上的截痕情况:双曲线:时,截痕为相交直线:时,截痕为(实轴平行于z轴;虚轴平行于x轴）双曲线:xyoz(2)双叶双曲面双曲线椭圆【注意】单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线单叶双曲面

8、双叶双曲面抛物柱面椭圆柱面还有以下三种柱面:双曲柱面五、小结内容小