《Gramer法则》PPT课件

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1、§2.7Gramer法则行列式理论在解一类特殊的线性方程组方面有重要应用，对于二元一次和三元一次方程组，当方程组的系数行列式不为0时，方程组有唯一的公式解。对于n元一次方程组，相应的结论也成立，这就是下面要介绍的Gramer法则。设n元一次线性方程组为—（1）称为这个方程组的系数行列式。把D中的第j列换成常数列后所得行列式记为则定理2.7.1（Gramer法则）：如果线性方程组（1）的系数行列式有唯一解，其解为：，则这个方程组—（2）其中是把D中的第j列元素换成常数项所得的行列式，该定理包括三个结论：方程组在时有解；解是唯一的

2、；解由公式（2）给出。这三个结论相互之间有联系，因此证明的步骤是：1、把（2）代入方程组，验证它是方程组（1）的解；2、假设方程组有解，则它的解必可由公式（2）给出。证：把方程组简写成首先证明公式（2）确是方程组（1）的解。把代入第i个方程得：因此确是方程组（1）的解。再证方程组（1）的解必由公式（2）给出。设是方程组（1）的任一解，则有—（3）用D中第j列元素的代数余子式依次乘以（3）中每个方程得把这n个方程相加得：而例2.7.1解线性方程组解：由于方程组的系数行列式故方程组有唯一解。由于方程组的解是注意：克莱姆法则只适用于

3、方程个数与未知量个数相等，且系数行列式不等于零的线性方程组。如果方程个数与未知量个数不相等或虽相等，但系数行列式等于零，克莱姆法则失效。如果在线性方程组（1）中常数项全为零，即有—（4）称方程组（4）为齐次线性方程组，这种方程组显然有解：称其为零解。齐次线性方程组如果有其他的解，则称为非零解。我们关心方程组（4）什么时候有非零解。定理2.7.2：若齐次线性方程组（4）的系数行列式，则方程组（4）只有零解。证：由Gramer法则，方程组（4）只有唯一解：但由于推论：齐次线性方程组（4）有非零解的充要条件是其系数行列式等于零。例2

4、.7.2当取何值时，齐次线性方程组有非零解。解：当或时，方程组有非零解。