线性空间的概念

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1、线性空间引论DepartmentofMathematics,CollegeofSciences哈尔滨工程大学理学院应用数学系课前预习、课中提高效率、课后复习作业要求书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取使用教材《矩阵论》哈尔滨工程大学主编其他辅导类参考书（自选）线性空间与线性映射第一章教学内容和基本要求1，理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式；2,掌握子空间与维数定理，理解子空间的相关性质；3,理解线性变换的概念，掌握线性变换的矩阵示表示,了解线性空间同构的含义.重点:线性空间的概念；子空间的维数定理；基变换与坐标变换.难点:基变换与坐标变换常见数域：

2、复数域C；实数域R；有理数域Q；设F是至少包含两个数的数集，如果F中F中的数，则称F为一个数域．任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是定义：一,数域的定义（注意：自然数集N及整数集Z都不是数域．）§1.1线性空间说明：1）若数集F中任意两个数作某一运算的结果仍在F中，则说数集F对这个运算是封闭的．2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数集F对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0）是封闭的，则称集F为一个数域．是一个数域．例1．证明：数集证：又对设则有设于是也不为0．或矛盾）（否则，若则于是有为数域．是数域.类似可证Gauss数域二、数域的性质定理任意数域F

3、都包括有理数域Q．证明：设F为任意一个数域．由定义可知，于是有即:有理数域为最小数域．进而有而任意一个有理数可表成两个整数的商，定义1设是一个非空集合，为一数域．在V上定义运算如下：ⅰ)对任意两个元素　，总有唯一的一个元素与之对应，称为与的和，记作三,线性空间的定义和举例若对于任一数与任一元素，总有唯一的一个元素与之对应，称为与的积，记作如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么就称为数域上的线性空间．记为:八条运算规律:（1）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．例1实数域上的全体矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数

4、域上的线性空间，记作．一般线性空间的判定方法通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律．例2数域F上次数小于n的多项式的全体，记作：例3不是线性空间可以验证：构成数域F上的线性空间例4正弦函数的集合对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间．是一个线性空间.例5.正实数的全体，记作，在其中定义加法及乘数运算为验证对上述加法与乘数运算构成线性空间．(2)一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律．下面一一验证八条线性运算规律：证明:所以对定义的加法与乘数运算封闭．所以对所定义的运算构成线性空间．不

5、构成线性空间．对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法例6.个有序实数组成的数组的全体解答:1．零元素是唯一的．证明:假设是线性空间V中的两个零元素，由于所以则对任何，有二,线性空间的性质2．负元素是唯一的．证明假设有两个负元素与，那么则有向量的负元素记为证明4．如果，则或.证明假设那么又同理可证：若则有证：设而数域F中有无限多个不同的数，所以V中有无限多个不同的向量.注：只含一个向量—零向量的线性空间称为零空间.练习：证明：数域F上的线性空间V若含有一个非零向量，则V一定含有无穷多个向量定义:设为数域上的一个维线性空间，为的一个子集，如果对于的两种运算(加法与数乘运

6、算)也构成数域上的线性空间,那么我们称为的一个子空间。四.线性子空间定理线性空间的非空子集构成子空间的充分必要条件是：对于中的线性运算封闭．例7.对于任意一个有限维线性空间,它必有两个平凡子空间，即由单个零向量构成的子空间以及线性空间本身。例8.设,那么线性方程组的全部解为线性空间的一个子空间，我们称其为齐次线性方程组的解空间。当齐次线性方程组有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。解(1)不构成子空间.因为对例9有即对矩阵加法不封闭，不构成子空间.对任意于是有满足且设是线性空间中的向量，则由的所有线性组合：构成的集合是的子

7、空间，称为由张成（生成）的子空间，记为：或：零向量集合与本身称为平凡子空间，非平凡子空间称为的真子空间张成子空间的定义:思考题思考题解答八条运算规律:（1）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．例1实数域上的全体矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作．一般线性空间的判定方法通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律．例2例3不是线性空间例5.正实数的全体，记作，在其中定义加法及乘数运算为验证对上述加法与乘数运算构成线性空间．(2)一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是通