线性空间的概念教学

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1、线性空间的概念教学　　【摘要】高等代数是数学专业的一门重要的基础课，也是各高校的考研必考科目之一。本文根据该课程和当前学生的特点，以线性空间为代表，探讨了高等代数概念教学的模式，目的是使学生能够灵活运用所学概念去分析问题和解决问题。　　【关键词】高等代数线性空间概念教学　　【中图分类号】G642【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2015）11-0117-02　　数学教学实践表明，概念教学在整个数学教学中具有重要的基础地位。数学概念教学要做到数学概念的逻辑形式与形成过程的思维过程相统一，本质就是数学的内

2、容与思想方法的统一。因此如何讲深讲通基本概念，使学生能深刻理解、牢固掌握这些基本概念，这是讲授这门课程应该花力气考虑的主要问题。　　1.引入概念　　概念引入的主要目的是通过引入这种教学方法引导学生更好的理解和掌握新概念。“引”的事物可以是实际生活中存在的，可以是本门课程前面学习的内容，也可以是其他已有的知识，总之，引的事物可以是多角度的、多方面的，它只是用于理解新概念的工具。“入”4指的是前面引的事物与新概念的联系，由此相关性才能成功的得到新概念。引入的过程从具体到抽象，从简单到复杂，学生在已有知识的基础上能清楚的

3、理解新概念的存在性。下面来看线性空间中两个概念的引入：　　（1）线性空间的定义是通过两个例子来引出的，例1是在解析几何中学过的三维空间，例2是为了解线性方程组讨论过的n维向量空间，虽然它们考虑的对象不同，但是它们有一个共同点，那就是都有加法和数乘运算，随着对象不同，这两种运算的定义自然也不同，为了抓住它们的共同点，把它们统一起来研究，就是这章要学习的线性空间。　　（2）在引入线性空间子空间的定义时，仍然以学生熟悉的三维几何空间为例，在学习线性空间是已经知道过原点的平面是一个一维线性空间，也就是说，它一方面是三维几何

4、空间的一部分，同时它对于原来的运算也构成一个线性空间，我们称它为原来线性空间的一个子空间。　　2.概况概念　　（1）线性空间的定义较长，学生不好理解和记忆，因此我们将其拆分成“2+8”去理解和记忆，“2”指加法和数乘运算满足封闭性，“8”指8条运算律。此处需要强调的是运算的封闭性，这里常常被学生忽略。下面再举些例子加以说明，如引例中提到的n维向量空间，以及数域P上的m×n阶矩阵的全体、数域P上的一元多项式环等，再加几个反例，正反比较让学生更进一步掌握此概念。4　　（2）线性空间的子空间的定义，从字面理解为线性空间的

5、子集也是一个线性空间，也就是说，设W是V的一个非空子集，若W对V中的加法和数乘运算也满足封闭性及8条运算律，则W也是一个线性空间。原本这就是子空间的定义，然而通过进一步验证，8条运算律可以由两运算的封闭性推导得到，因此子空间的定义只需要求非空子集满足运算的封闭性即可。　　3.分析解剖概念，揭示概念的关系　　（1）在讲解线性空间的维数与基的概念时，已经看到线性空间里的线性组合、线性相关性、等价的定义与第三章向量空间学习的定义都类似，由此发现线性空间的维数与基同向量空间的极大无关组与秩的概念类同，学生可以联系以前学过的

6、知识去理解。　　（2）同一个线性空间的两组不同的基之间用过渡矩阵联系起来。线性空间的基不止一个，同一个向量在不同基下坐标一般是不同的，这就是说，一个向量的坐标是依赖于基选择的，即向量关于不同基的坐标之间关系依赖于过渡矩阵。过渡矩阵是我们研究线性空间的一个重要工具，第七章线性变换的学习也会用此概念。将抽象的线性空间同具体的矩阵联系起来，使学生更好的去理解、掌握。　　4.强化概念的运用　　（1）计算子空间的维数与基，常见的题型有，求一组向量α1，…，αs的生成子空间L（α1，…，αs）的维数与基，学习了生成子空间的性质

7、后，求它的维数与基的问题就转化成了求向量组α1，…，αs的秩与极大无关组的问题，这是我们熟知的算法。另外还有，求齐次线性方程组解空间的维数与基就是去求解此方程组，维数等于未知数的个数减去系数矩阵的秩，一个基础解系就构成了解空间的一组基。我们看到新的概念与很多已有的知识是有紧密联系的，这就需要我们在掌握旧的知识的基础上联系新的知识。4　　（2）线性空间的同构给出了两个线性空间的关系，由同构的概念得到了有限维线性空间的一个划分，维数相同的组成一类，也就是说，维数是有限维线性空间的唯一的本质特征。例如，每一个数域P上n维

8、线性空间都与n元数组成的空间Pn同构，而同构的线性空间有相同的性质，由此可知，以前得到的关于Pn的一些结论，在一般的n维线性空间中也是成立的，而不必要一一重新证明。我们看到，利用同构的概念，找到了不同线性空间之间的联系，从而可以借助我们熟知的、简单的空间来了解一些复杂空间的性质。　　总而言之，以上介绍的线性空间的概念教学只是整个高等代数中一个局部的体现，在高