一线性空间的同构(基本概念)

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1、线性空间的定义习题课一．线性空间的同构（基本概念）同构映射、同构映射的六个性质，两个线性空间同构二．习题举例例1：求线性空间的维数1）数域P上所有反对称矩阵组成的线性空间。2）数域P上所有上三角形矩阵组成的线性空间。例2：证明：Pn的任意一个真子空间都是若干个n-1维子空间的交。证明：设V是Pn的任意一个真子空间，不仿设V=L()，它是线性方程组的解空间，记为线性方程组，k=1,2,…,n-r的解向量空间,显然是Pn的n-1维子空间，且V恰好是这n-r个n-1维子空间的交。例3设是n维线性空间V中的n个向量，V中的每个向量都

2、可以由它们线性给出，求证：是V的一组基。证明：只须证明线性无关，事实上，如果是的一个极大线性无关组，则是V的一组基，所以，向量组就是向量组，是线性无关。例4：在中求齐次线性方程组，的解空间的维数与一组基。解：；解空间的维数是3，一组基是例5：设，证明：实数域上矩阵A的全体实系数多项式组成的空间与复数域C作为实数域R上的线性空间同构。证明：注意到，则，建立V到的映射：，是同构映射；所以V与同构。练习：1．复数域C作为实数域R上的线性空间，与R2同构。2．是同构映射，V1是V的子空间。证明：是W的子空间。3．证明：线性空间可以与

3、它的一个真子空间同构。证明：令，4．在中求齐次线性方程组：的解空间的维数和一组基。答：解空间的维数是3，一组基是5．已知是有理数域Q添加所得的数域，试求作为Q上的线性空间的维数及一个基。解：：可证=W维数是2：一个基是{。1．设为数域P上n维向量的全体构成的线性空间，证明：（1）存在子空间V1，其中每一个非零向量的分量都不为零：（2）若子空间V2每个非零向量的分量都不为零，则V2必为一维子空间。2．设W，U是线性空间V的两个子空间；（1）试问W+U与是否相等？举例说明。（2）证明的充分必要条件是解答：（！）不一定。V是直角坐

4、标平面，W，U分别是x,y轴，则x,轴上的非零向量与y轴上的非零向量的和属于W+U但不属于。（2）充分性：若，则=U，，从而有，同样可证明当时等式也成立。必要性：若，但，即存在，任取，则，可证，且，即，故。总结练习一、填空1．线性空间的两个子空间与的和是直和，则；线性空间中，由基到基；的过度矩阵是；3．设线性空间V=L（）维数是3，则V的所有子空间的个数是；由生成的子空间的个数是；4．写出线性空间中的向量在基下的坐标；5.数域P上的所有n×n的上三角形矩阵构成的线性空间的维数是。二、判断对错6．线性空间中的非零向量可以有两个

5、负向量。()7．线性子空间的维数不能大于原线性空间的维数。（）8．设是线性空间V的两个子空间，则也是V的一个线性子空间。9．实数集在数的加法与乘法运算下构成有理数域上的线性空间。（）10．如果线性空间与它的一个非平凡子空间同构，则此线性空间是无限维空间。三、选择题11．复数集在数的加法与乘法运算下是实数域上的线性空间，它的维数是（）。A．1；B．2；C．n；D．无限维。12．R4的子空间W=的维数等于（）。A．1；B．2；C．3；D．4。13．设是A的所有实系数多项式组成的集合，在多项式矩阵的加法与数乘运算下构成R上的线性空

6、间，则维（V）等于（）。A．1；B．2；C．n；D．无限维。14．下列集合对于给定运算构成实数域上线性空间的是（）。A．全体n阶方阵的集合V，在加法：与通常数乘矩阵的运算；B．实n维向量的集合，按通常向量的加法与数乘运算；C．实数域R上全体对数的集合V，按通常对数的加法与数乘对数的运算；D．平面上始点在原点终点在第一象限的全体向量集合V，按通常向量的加法与数乘向量的运算。15．设是线性空间V的两个子空间，则=的充分必要条件是（）。A．；B．；C．；D．=。四、计算题1．试讨论R2×2的向量的线性相关性。（线性无关）2．已知R

7、3的两组基：到基求（1）由基的过度矩阵；（2）求在基下的向量在基下的坐标。3．已知，求的维数与一组基。4．已知，，求的维数与一组基5．在R4中，求由齐次线性方程组确定的解空间的维数与一组基。五、证明题1.设是线性空间V的两个子空间，证明：=的充要条件是维（）=维（证明：=的充要条件是由维数公式：维（）+维=维（知；的充要条件是维（）=维（。2.证明：设W是n维线性空间V的一个子空间，则存在V的子空间U使得V是W与U的直和。证明：设是W的一组基，因为线性无关，可扩充成V的一组基，令，则。3.设是线性空间V的两个非平凡子空间，证

8、明：存在，且与同时成立。证明：由于是线性空间V的两个非平凡子空间，存在，；如果，取，如果，取，不然，则令；就有，且，。