高等代数§6.8 线性空间的同构.ppt

《高等代数§6.8 线性空间的同构.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、一、同构映射的定义二、同构的有关结论§6.8线性空间的同构我们知道，在数域P上的n维线性空间V中取定一组基后，V中每一个向量　有唯一确定的坐标向量的坐标是P上的n元数组，因此属于Pn.这样一来，取定了V的一组基　　　　对于V中每一个向量　，令　在这组基下的坐标与　对应，就得到V到Pn的一个单射反过来，对于Pn中的任一元素是V中唯一确定的元素，并且　　即　也是满射.因此，　是V到Pn的一一对应.引入这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上.任取　　　　设则归结为它们的坐标的运算.这就是说，向量用坐标表示

2、后，它们的运算可以从而一、同构映射的定义设　　都是数域P上的线性空间，如果映射具有以下性质：则称　　　　　的一个同构映射，并称线性空间同构，记作ii)iii)i)为双射为V的一组基，则前面V到Pn的一一对应例1、V为数域P上的n维线性空间，这里　　　　　为　在　　　　　基下的坐标，就是一个V到Pn的同构映射，所以1、数域P上任一n维线性空间都与Pn同构.二、同构的有关结论同构映射，则有1）2、设　　是数域P上的线性空间，　　　　的2）线性相关（线性无关）.3）V中向量组线性相关（线性无关）的充要条件是

3、它们的象4）5）的逆映射　　为　　的同构映射.是的　子空间，且6）若W是V的子空间，则W在　下的象集中分别取　　　　　　　即得证：1）在同构映射定义的条件iii)2）这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合的结果.3）因为由可得反过来，由可得而　是一一对应，只有所以可得因此，　　　　　线性相关（线性无关）线性相关（线性无关）.4）设　　　　　　　　　　为V中任意一组基.由2）3）知，　　　　　　　　为　的一组基.所以任取I为恒等变换.5）首先　　　　　　是1－1对应，并且同理，有所以，　为　　　的同

4、构映射.由于　是同构映射，有再由　是单射，有6）首先，其次，对有W中的向量使于是有由于W为子空间，所以从而有由2可知，同构映射保持零元、负元、线性组合所以　　　是的　子空间.显然，　也为W到　　　的同构映射，即注及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间.证：设为线性空间的同构3、两个同构映射的乘积还是同构映射.任取有映射，则乘积　　是　　　的1－1对应.所以，乘积　　是　　　的同构映射.同构关系具有：反身性：对称性：传递性：注4、数域P上的两个有限维线性空间　　同构证：若　　　由性质2之4）即得（

5、法一）若由性质1，有设　　　　　　　　　分别为V1,V2的一组基.定义　　　　　　使则　就是V1到V2的一个映射.（法二：构造同构映射）又任取　　　　　设从而，　　　所以　是单射.若　　　　　即　则任取　　　　设所以　是满射.再由　的定义，有易证，对　　　　　　　　　有所以　是V1到V2的一个同构映射，故则有　　　　　　　使例2、把复数域看成实数域R上的线性空间，证法一：证维数相等证明：首先，　　　　可表成其次，若则所以，1，i为C的一组基，又，所以，故，证法二：构造同构映射则　为C到R2的一个同构映

6、射.作对应作成实数域R上的线性空间.把实数域R看成是自身上的线性空间.例3、全体正实数R+关于加法⊕与数量乘法　：证明：　　　　并写出一个同构映射.证：作对应易证　为　　　的1－1对应.且对　　　　　　　　　有所以，　为　　　的同构映射.故方法二：作对应易证：　为　　　的1－1对应，而且也为同构映射.事实上，　为　的逆同构映射.2）证明：复数域C看成R上的线性空间与W同构，设集合练习1）证明：W为的子空间，并求出W的维数与一组基.并写出一个同构映射.