《D25泰勒公式》PPT课件

《《D25泰勒公式》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、二、几个初等函数的麦克劳林公式第五节一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用应用目的－用多项式近似表示函数.理论分析近似计算Taylor定理及其应用第二章一、问题的提出需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?问题:解决方法:思考:多项式应该怎么确定？分析:2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在点相交1.求n次近似多项式？从而:2.余项估计令(称为余项),则有公式①称为的n阶泰勒公式.公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日型余项.泰勒(Taylor)定理:阶的导数,时,有①其中②则当泰

2、勒公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)型余项.在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为注意到③④*可以证明:④式成立特例:(1)当n=0时,泰勒公式变为(2)当n=1时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理可见误差称为麦克劳林(Maclaurin)公式.则有在泰勒公式中若取则有误差估计式若在公式成立的区间上麦克劳林由此得近似公式二、几个初等函数的麦克劳林公式其中麦克劳林公式例其中麦克劳林公式麦克劳林公式类似可得其中其中麦克劳林公式取就得到三个常用幂函数的麦克劳林公式：已知其中因此可得麦克劳林

3、公式三、泰勒公式的应用1.在近似计算中的应用误差M为在包含0,x的某区间上的上界.例1.计算无理数e的近似值,使误差不超过解:已知令x=1,得由于欲使由计算可知当n=9时上式成立,因此的麦克劳林公式为例2.求方程的一个近似实根，其中是一个很小的参数。解.根据习题1.5（A）第14题，此方程至少有一个根。假设由该方程所确定的隐函数(即该方程的根)是连续的，且有足够的可微性，由泰勒公式：取得，从而下求利用隐函数求导法对原方程两端关于求导得：从而有：再求导得：从而解得：于是得到所求方程实根的二阶近似表达

4、式：根据实际问题的精度要求，还可以求出该方程更高阶的近似根的表达式。这种利用泰勒公式求方程的关于小参数的近似根的方法就是所谓的摄动法。2.利用泰勒公式求极限例3.求解:从而，只需要将分子中的项,即用麦克劳林公式展到由于分母故，原式例4:求分析：解:原式3.利用泰勒公式证明不等式例5.证明证:+例6.设当时，与是等价无穷小，证明：当时证:由于题中函数二阶可导，所以利用泰勒公式证明。取由泰勒公式得：(在x,0之间)又当时，与是等价无穷小，从而比较两式可得所以：比较两式可得所以：又因此当时由上面的结论

5、易得以下不等式：用同样方法可证，此例中当有内容小结1.泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式.2.常用函数的麦克劳林公式(P142~P144)3.泰勒公式的应用(1)近似计算(3)其他应用求极限,证明不等式等.(2)利用多项式逼近函数例如泰勒多项式逼近6422464224O泰勒多项式逼近642246O4224思考与练习1.计算解:原式第四节2.求解:由于用洛必达法则不方便!用泰勒公式将分子展到项,3.利用泰勒公式求下列极限解：解：泰勒(1685–1731)英国数学家,他早期是牛顿学派最优秀的代表人物之

6、一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《线性透视论》(1719)他在1712年就得到了现代形式的泰勒公式.他是有限差分理论的奠基人.麦克劳林(1698–1746)英国数学家,著作有:《流数论》(1742)《有机几何学》(1720)《代数论》(1742)在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的麦克劳林级数.