《泰勒公式简介》PPT课件.ppt

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1、1.近似计算于是一、利用导数作近似计算是用计算方法得到一定精度的计算结果.yxo这就是利用导数作近似计算的公式.它表明，当例1.如图，加工圆锥台时计算刀架应取角.s因一般相当小，故解：于是从而例2.开方的近似计算.常用近似公式（充分小）：例3.计算的近似值.解：查表得0.4848误差估计例如：设计一根轴长度120毫米，加工后量得120.03毫米，误差为毫米.设计一个键销长度12毫米，加工后量得12.03毫米，误差为毫米.称这种误差为绝对误差，表明了一个量与它的近似值之间的差值，反映了某种近似程度.——是估计近似

2、值与精确值的差上例中，尽管他们的绝对误差相等，但明显地，轴长（120毫米）的精度要比键销（12毫米）的精度高。可见，一个量的近似精度依赖于其绝对误差和这个量本身的大小，故需计算绝对误差占总长度的百分比.例如：轴：键销：称这样的百分比为相对误差.显然，轴长精度比键销长的精度高得多.一般地，有定义：Def:和相对误差例4.多次测量一根圆钢,测得其直径的平均值为D＝50毫米，绝对误差不超过0.05毫米.试计算其截面积,并估计其误差.解：S的绝对误差：相对误差：二、Taylor公式简单函数多项式复杂的函数近似表示从而为

3、提高近似精度，可用二次多项式（二阶近似）且一般地，可用n次多项式（n阶近似）且例5.上述公式表明，近似式阶数越高，近似程度越好.近似程度是多少？TheoremTaylor公式（也称马克劳林(Maclaurin)公式），式中叫做Lagrange余项.证明：作辅助函数再作辅助函数利用Cauchy定理，得Lagrange余项还可写为：又因此余项又可表示为称为皮亚诺(Peano)余项.注1：Cauchy余项注2：由余项可见，不论缩小x或增大阶数n都可提高精度.Lagrange余项或Peano余项例5中,误差为例6.例7

4、.特别，二项式展开公式例8.例9.解：例10.解：例11.计算例12.求注3.函数的Taylor公式是函数无穷小的一种精细分析，也是在无穷小邻域将超越运算转化为整幂运算的手段，从而可将无理或超越函数的极限转化为有理式的极限而求解，大大简化计算.