泰勒公式课件.ppt

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1、二、几个函数的麦克劳林公式第三节一、泰勒公式三、泰勒公式的应用泰勒(Taylor)公式第三章一、泰勒公式当一个函数f(x)相当复杂时,为了计算它在一点x=x0时，是比高阶的无穷小.附近的函数值或描绘曲线f(x)在一点P(x0,f(x0))附近的形状时,我们希望找出一个关于(x-x0)的n次多项式函数近似表示f(x)且当机动目录上页下页返回结束首先确定多项式函数的系数假定f(x)在含有点x0的某个开区间(a,b)内具有直到这样,对Pn(x)求各阶导数,然后分别代入以上等式得即得(n+1)阶的导数，并且要求满足条件：机动目录上页下页返回结束把所求得的系数

2、代入得其次证明是较显然,Rn(x)在(a,b)内具有直到(n+1)阶导数，且据此重复使用洛必达法则，可推得高阶无穷小机动目录上页下页返回结束时，是比高阶的无穷小.即当Rn(x)于是f(x)可表示机动目录上页下页返回结束一、问题的提出机动目录上页下页返回结束（如下图）机动目录上页下页返回结束不足之处问题:1、精确度不高2、误差不能估计。机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束分析:2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在点相交机动目录上页下页返回结束三、泰勒(Taylor)中值定理机动目录上页下页返回结束定理:泰勒(Tayl

3、or)中值定理有①其中②则对于任一如果f(x)在含有点x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数，机动目录上页下页返回结束特例:当n=0时,泰勒公式变成拉格朗日中值定理公式①称为f(x)按(x-x0)的幂展开的带有拉格朗日型公式②称为拉格朗日型余项.余项的n阶泰勒公式.机动目录上页下页返回结束拉格朗日形式的余项皮亚诺形式的余项机动目录上页下页返回结束注:机动目录上页下页返回结束二、几个函数的麦克劳林公式上述公式称为f(x)的麦克劳林(Maclaurin)公式.因此可令在泰勒公式中取从而泰勒公式变为较简单的形式,即其中机动目录上页下页返回结

4、束故例1:求函数解:因为的n阶麦克劳林展开式.所以机动目录上页下页返回结束其中令n=2m，于是有例2:求函数解:因为的n阶麦克劳林展开式.所以机动目录上页下页返回结束类似地,可得其中其中机动目录上页下页返回结束其中以上介绍的几个函数的麦克劳林展开式，在应用中经常遇到，应该熟记！机动目录上页下页返回结束三、泰勒公式的应用1.求较为复杂的函数的麦克劳林展开式或泰勒展开式例3:求解:因为又的麦克劳林展开式.机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例4:求函数解:因为处的泰勒展开式.机动目录上页下页返回结束即机动目录上页下页返回结束解机动目录上页下页

5、返回结束2.在近似计算中的应用例5:利用的8阶麦克劳林展开式计算e的近似值,并估计误差.解:取n=8，进行计算得机动目录上页下页返回结束其误差机动目录上页下页返回结束五、小结五、小结五、小结五、小结五、小结习题3-3（P91)1(2)、2