《泰勒公式的讲解》PPT课件

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1、§4泰勒公式与极值问题首页×一、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个偏导函数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:首页×类似可以定义更高阶的偏导数.z=f(x,y)的三阶偏导数共有八(23)种情形：首页×又如z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.再关于y的一阶偏导数为首页×例1求函数解的二阶偏导数及首页×注意从上面两个例子看到，有但这一结论并不总成立.首页×.arctan2的所有

2、二阶偏导数求函数例xyz=例如二者不等首页×定理17.7例如对三元函数u=f(x,y,z),说明本定理对n元函数的高阶混合偏导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等今后除特别指出外，都假设相应的混合偏导数连续，从而混合偏导数与求导顺序无关.首页×例6证明函数证利用对称性,有满足拉普拉斯方程首页×注意多元抽象复合函数的高阶导数在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列

3、几个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.首页×得首页×.),(3222yxzxzyxxfz¶¶¶¶¶=，，求设例首页×首页×例设f具有二阶连续偏导数,求解首页×二、中值定理和泰勒公式凸区域若区域D上任意两点的连线都含于D若D为区域，则对任何恒有凸区域非凸区域内，则称D为凸区域.首页×一元函数中值定理回顾首页×证令由定理的条件知Φ(t)在[0,1]上连续，在(0,1)内可微.由复合函数的求导法则于是由于D为凸区域，所以从而有于是根据一元函数中值定理，存在θ使得首页×首页×二、二元函数的

4、泰勒公式一元函数泰勒公式回顾首页×其中一般地,表示表示首页×这正是二元函数的拉格朗日中值公式.Rn称为其拉格朗日型余项.首页×证令其中由定理的假设，在[0,1]在满足一元函数泰勒定理条件，于是有下面计算首页×利用多元复合函数求导法则可得:首页×一般地,将上述导数代入公式：即得二元函数泰勒公式.首页×若在泰勒公式中只要求余项首页×首页×在泰勒公式中,如果取0,000==yx,则称为n阶麦克劳林公式.带入型余项的泰勒公式中：首页×().08.141),(496.3它计算（到二阶为止），并用）的泰勒公式

5、，在点（求例yxyxf=首页×即令x=1.08,y=3.96,则有x-1=0.08,y-1=-0.04,把这个值与前面用全微分近似公式计算的结果相比较，这个结果更接近于真值1.356307…….首页×三极值问题定义若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有注意：函数的极值点只可能是定义域的内点.首页×例如在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.首页×若例如,定理17.10(必要条件)函数存在偏导数,证

6、取得极值,取得极值，取得极值，稳定点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有故则称(x0,y0)为f的稳定点或驻点.所以所以首页×在原点(0,0)没有偏导数，但它在原点有极小值;所以，函数的极值只可能在稳定点或偏导数不存在的点取得.首页×时,具有极值定理17.11(充分条件)的某邻域内具有二阶连续偏导数,令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数且首页×证由二元函数的泰勒公式,并注意则有所以首页×其中

7、,,是当h→0,k→0时的无穷小量,于是(1)当AC－B2＞0时,必有A≠0,且A与C同号,可见,从而△z＞0,因此的正负号可由确定。首页×从而△z＜0,(2)当AC－B2＜0时,若A,C不全为零,无妨设A≠0,则时,有异号;同号.可见△z在(x0,y0)邻近有正有负,首页×++－若A＝C＝0,则必有B≠0,不妨设B＞0,此时可见△z在(x0,y0)邻近有正有负,(3)当AC－B2＝0时,若A≠0,则若A＝0,则B＝0,为零或非零首页×此时因此不能断定(x0,y0)是否为极值点.首页×并求出

8、偏导数不存在的点.求出二阶偏导数的值：首页×例求函数解第一步求稳定点得稳定点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数故f在(1,0)有极值,又因首页×在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;故f在(-3,2)有极值,又因首页×例讨论函数及在点(0,0)是否取得极值.解显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此(0,0)不是因此为极小值.正负0