lei1多元函数的基本概念

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1、高等数学多媒体课件华南农业大学理学院数学系牛顿（Newton）莱布尼兹（Leibniz）8/18/20211第七章多元函数微分法及其应用推广一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同8/18/20212主要内容第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的微分法第五节隐函数的微分法第六节多元微分学在几何上的应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其求法8/18/20213第一节多元函数的基本概念第七章(Conceptionoffunctionsofseveralvariables)四、多元函数的连续性一、平面点集n维空间二、多元函数的概念三、

2、多元函数的极限五、小结与思考练习8/18/202141.平面点集坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平面点集，记作E={(x,y)

3、(x,y)具有性质P}.例如，平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是一、平面点集n维空间8/18/20215邻域8/18/20216点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点P0的去心邻域记为8/18/20217在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为.因为方邻域与圆邻域可以互相包含.8/18/20218(1)内点、外点、边界点、聚点设有点集E及一点P:若存在

4、点P的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,若对点P的任一邻域U(P)既含有E的点也含则称P为E的内点；则称P为E的外点;则称P为E的边界点.有不是E的点,显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.2.区域8/18/20219若对任意给定的,点P的去心邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.内点一定是聚点；边界点可能是聚点；说明：例(0,0)既是边界点也是聚点．点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．8/18/202110开集:如果点集E的点都是

5、内点，则称E为开集.内点开集闭集：如果点集E的余集为开集，则称E为闭集.开集既非开集，也非闭集.(2)开集、闭集8/18/202111连通集：如果点集E内的任何两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于E，则称E为连通集.例如：闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域.区域(或开区域)：连通的开集称为区域或开区域.例如：（4）区域8/18/202112开区域闭区域例如，在平面上8/18/202113整个平面点集是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.o对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点A的距离APK,则称D为有界区域,无界域

6、.否则称为有界集：对于平面点集E，如果存在某一正数r，使得，其中O是坐标原点，则称E为有界集.无界集：不是有界集的集合称为无界集.8/18/202114n元有序数组的全体称为n维空间,n维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第k个坐标.记作即一个点,当所有坐标称该元素为中的零元,记作O.3.n维空间8/18/202115设x=(x1,x2,…,xn)，y=(y1,y2,…,yn)为Rn中任意两个元素，规定这样定义了线性运算的集合Rn称为n维空间.8/18/202116的距离记作规定为n维空间中邻域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．特殊地当时，便为数轴、平面、空间两点间

7、的距离．8/18/202117二、多元函数的概念引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式8/18/202118点集D称为函数的定义域;数集称为函数的值域.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在D上的n元函数,记作定义1设非空点集8/18/202119例1.求的定义域．解所求定义域为8/18/202120二元函数的几何意义：设二元函数z=f(x,y)的定义域为xoy面上的某一区域D，对于D上的每一点P(x,y)，在空间可以作出一点M(x,y,f(x,y))与它对应；当点P(x,y)在D中变动时，点M(x,y,f(x,y))就在空间作

8、相应地变动，它的轨迹是一个曲面.8/18/202121定义域为圆域说明:二元函数z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面.三元函数定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球例如,二元函数8/18/202122三、多元函数的极限定义2设n元函数点,则称A为函数(也称为n重极限)当n=2时,记二元函数的极限可写作：P0是D的聚若存在常数A,对一记作都有对任意正数,总存在正数,切8/18/202123(1)不研究P0(x0,y0)处的状态，仅研