D83二元函数的极限与连续

《D83二元函数的极限与连续》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第八章第三节二元函数的极限与连续机动目录上页下页返回结束一.二元函数的极限二.二元函数的连续本节的教学要求理解二元函数极限和连续的概念了解二元函数极限与连续和一元函数相关概念与性质的异同重点机动目录上页下页返回结束(一)二元函数的极限定义8.3也用邻域来定义极限.机动目录上页下页返回结束二元函数用两点间的距离的邻域点来定义用邻域定义了极限.来定义如果对于任意给定的正数,总存在一个正数,使当时,恒成立,则称当(x,y)趋于时,函数以A为极限,记作或一元函数用点x0的邻域或例1证:机动目录上页下页返回结束所以当因恒成立,于是,只要取又当证明时,时,因此

2、,例2设求证：证:故总有机动目录上页下页返回结束要使注意:是以任意方式的,“趋近”方式比一元函数时复杂得多!二元函数的因当时,若当点趋于不同值或有的极限不存在，设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极则有k值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于限不存在.例3讨论函数函数机动目录上页下页返回结束解:时,当(x,y)沿y=kx趋于(0,0)点时,可见,以不同方式趋近(0,0)函数趋于不同数值,机动目录上页下页返回结束例4讨论是否存在.解:而当(x,y)沿y=kx2趋于(0,0)点时,说明极限不存

3、在.一元函数极限存在的充分必要条件:(1)极限的四则运算法则仍适用.机动目录上页下页返回结束对于二元函数(3)无穷小量的运算法则仍适用(4)无穷小量的阶的概念仍适用“左极限=右极限”不再适用!对于二元函数(2)极限的复合运算法则仍适用.(二)二元函数的连续性(1)在点则称函数的间断点.机动目录上页下页返回结束设二元函数满足条件:的某邻域内有定义;是函数在点否则称点(2)极限存在;(3)处连续,如果函数在平面区域D内的每一点都连续,则称函数在区域D内连续.定义8.4由定义8.4知函数在点(0,0)的连续性.在(0,0)点不连续.在点(0,0)处极限不存在.

4、例5讨论函数机动目录上页下页返回结束解:例3已证例6求函数上的所有点均为故圆周的间断点.解:由知满足的(x,y)使函数无定义,函数的间断点.例7机动目录上页下页返回结束的连续域.解:求函数(1)连续的四则运算法则；(2)连续函数的复合运算法则；对于二元函数(4)“连续必定有极限”.一元函数的下列法则仍成立：(3)初等函数在其定义域中连续；为初等函数.其定义域为连续域.有界闭区域上二元连续函数的性质:在有界闭区域D上连续,(2)(3)设使得机动目录上页下页返回结束(1)则在任意的必存在点则在D上必定有界.在D上的最小值和最大值分别为m和M,如果在D上必取得

5、最大值和最小值.(有界性定理)(最值定理)(介值定理)内容小结机动目录上页下页返回结束有1.多元函数的极限2.多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性质:有界性定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在其定义区域内连续