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1、§10.2二元函数的极限与连续性与一元函数的极限相类似，二元函数的极限同样是二元函数微积分的基础.但因自变量个数的增多,导致多元函数的极限有重极限与累次极限两种形式,而累次极限是一元函数情形下所不会出现的.一、二元函数的极限二、累次极限1、二元函数的极限一、二元函数的极限定义1设二元函数定义在上,为D的一个聚点,A是一实数.若使得当时,都有在对不致产生误解时,也可简单地写作则称在D上当时以A为极限,记作当P,分别用坐标表示时,上式也常写作例1依定义验证证因为不妨先限制在点(2,1)的方邻域内来讨论,于
2、是有当时,就有这就证得所以例2设证明证(证法一)可知故注意不要把上面的估计式错写成：因为的过程只要求即而并不要求(证法二)作极坐标变换这时等价于(对任何).由于因此，对任何都有下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归结原则(而且证明方法也相类似).定理5的充要条件是：对于D的任一子集E,只要仍是E的聚点,就有推论1若,P0是E1的聚点,使不存在,则也不存在．推论2若是它们的聚点，使得都存在，但,则不存在．推论3极限存在的充要条件是：D中任一满足条件它所对应的函数列都收敛．下面三个例子是它们的应用．例
3、3讨论当时是否存在极限．(注:本题结论很重要,以后常会用到.)解当动点(x,y)沿着直线而趋于定点(0,0)时，由于,因此有这说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时,对应的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在．如图16-15所示,当(x,y)沿任何直线趋于原点时,相应的都趋于0,但这并不表明此函数在时的极限为0.因为当(x,y)沿抛物线趋于点O时,将趋于1.所以极限不存在.例5讨论在时不存在极限．解利用定理5的推论2,需要找出两条路径,沿着此二路径而使时,得到两个相异的极限．第一条路径简单地取此时有第二
4、条路径可考虑能使的分子与分母化为同阶的无穷小,导致极限不为0.按此思路的一种有效选择,是取此时得到这就达到了预期的目的．(非正常极限)的定义．定义2设D为二元函数f的定义域，是D的一个聚点.若使得则称f在D上当时,有非正常极限,记作下面再给出当时,或仿此可类似地定义：例6设.证明证此函数的图象见图16-16.因,故对只需取这就证得结果．二元函数极限的四则法则与一元函数极限相仿,特同,这里不再一一叙述.看作点函数别把时,相应的证法也相二、累次极限是以任何方式趋于这种极限也称为重极限.下面要考察x与y依一
5、定的先后顺序,相继趋在上面讨论的中,自变量于与时f的极限,这种极限称为累次极限.定义3如果进一步还存在极限累次极限,记作则称此L为先对后对的它一般与y有关,记作类似地可以定义先对y后对x的累次极限:注累次极限与重极限是两个不同的概念,两者之间没有蕴涵关系.下面三个例子将说明这一点.例7设.由例3知道当时的重极限不存在.但当时,有从而又有同理可得这说明f的两个累次极限都存在而且相等.累次极限分别为例8设,它关于原点的两个当沿斜率不同的直线时,有诉我们,这个结果是必然的.)因此该函数的重极限不存在.(下面
6、的定理16.6将告例９设,它关于原点的两个累次极限都不存在.这是因为对任何时,f的第二项不存在极限.同理,f的第一项当时也不存在极限.但是由于故按定义知道时f的重极限存在,且下述定理告诉我们:重极限与累次极限在一定条件下也是有联系的.定理6若f(x,y)的重极限与累次极限都存在,则两者必定相等.证设则使得当时,有的x,存在极限另由存在累次极限之假设,对任一满足不等式回到不等式(1),让其中,由(3)可得故由(2),(4)两式,证得,即由这个定理立即导出如下两个便于应用的推论.,推论1若重极限和累次极限
7、都存在,则三者必定相等.推论2若累次极限都存在但不相等,则重极限必定不存在.请注意:(i)定理16.6保证了在重极限与一个累次极限都存在时,它们必相等.但对另一个累次极限的存在性却得不出什么结论,对此只需考察本节习题之2(5).(ii)推论1给出了累次极限次序可交换的一个充分条件.(iii)推论2可被用来否定重极限的存在性(如例8).例10设试证明:证根据柯西准则,证得利用条件(ii)与结论,又有这就证得注本例给出了二累次极限相等的又一充分条件.与定理16.6的推论1相比较,在这里的条件(i)与(ii
8、)成立时,重极限未必存在.2、二元函数的连续性无论是单元微积分还是多元微积分,其中所讨论的函数,最重要的一类就是连续函数.二元函数连续性的定义比一元函数更一般化了些;而它们的局部性质与在有界闭域上的整体性质,二者完全相同.一、二元函数的连续性概念二、有界闭域上连续函数的性质一、二元函数的连续性概念※连续性的定义若只要,就有则称f关于集合D在点连续.在不致误解的情形下,也称f在点连续.若f在D上任何点都关于集合D连续,则称f为D上的连续函数.定义1设f为定
