资源描述：
《二元函数的极限与连续》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§10.2.二元函数的极限与连续一、二元函数的极限二、二元函数的连续性一、二元函数的极限1.二重极限定义设二元函数f(P)在区域有定义，是D的聚点.若（或），有，则称函数f(P)（关于区域D）在点存在极限，极限是A，表为.也表为，有且如果二元函数用坐标表示，即那么二元函数在点的极限是A就是（用方形去心邻域）：这个极限常常叫做二重极限.★说明：“,且”表示点的方形去心邻域.一般来说，验证二元函数的极限应用方形的去心邻域比较方便.当然也可以用点的圆形去心邻域：.“去心”表明，函数f(x,y)在点的极限与函数f(x,y)在点的情况无关.例1.证明证明:限定与（取),有要使不等式成
2、立.于是，且，有即取证明：函数在原点（0，0）的极限是0.证明：下面分两种情况讨论：1）.显然，与有例2.与有2）yx+£于是，与且，有即函数f(x,y)在原点(0,0)的极限是0.①在例2中，原点(0,0)并不属于函数f(x,y)的定义域，但是它在原点(0,0)仍存在极限.②在二重极限的定义中，动点(x,y)在中趋向于点与一元函数y=f(x)的自变量x在数轴上的变化不同，它可以在区域内沿着不同的道路（如曲线或直线等）和不同的方式（连续或离散等），从四面八方趋近于点，二元函数f(x,y)在点的极限都是A.反之，动点P(x,y)沿着某两条不同的曲线（或点列）无限趋近于点，二元
3、函数f(x,y)有不同的“极限”，则二元函数f(x,y)在点不存在极限.★注意：①令动点P(x,y)沿直线y=kx趋近于点，若极限值与k有关，则二元函数f(x,y)在点不存在极限.②找两种不同的趋近方式，使二重极限存在,但两者不相等，则二元函数f(x,y)在点不存在极限.确定二重极限不存在的方法：证明：函数在原点(0,0)不存在极限.证明：当动点P(x,y)沿着x轴(y=0)和y轴(x=0)无限趋近于原点(0,0)时，极限都是0，即与.当动点P)x,y)沿着通过原点(0,0)的抛物线无限趋近于原点(0,0)时，有（将y换成）于是，函数f(x,y)在原点(0,0)不存在极限.
4、例3.证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．例4:二元函数f(x,y)在其它情况下的极限的定义：等等.有★说明：二元函数极限与一元函数极限类似,有局部有界性，极限保序性，四则运算，柯西收敛准则等性质..),(Cyxf-<有,By>与B-x<求极限解其中例5:2.累次极限定义若当时（y看作常数），函数f(x,y)存在极限，设当时，也存在极限，设则称B是函数f(x,y)在点P(a,b)的累次极限.同样可定义另一个不同次序的累次极限，即3.二重极限与累次极限之间的关系：1）两个累次极限都存在，且相等，但是二重极限可能不存在.如上述的例3.而不存在.2）二重极限存在，
5、但是两个累次极限可能都不存在.如上述的例2.而与都不存在.4.二重极限可化为累次极限计算的条件定理1.若函数f(x,y)在点的二重极限与累次极限（首先，其次）都存在，则证明：设与只须证明A=B，即有.由二重极限的定义，，有，且(1)由累次极限的定义知，极限存在，设从而，有对不等式（1）取极限（），有即再取极限，即),(lim0yxfyy®二、二元函数的连续性1.连续的定义定义（点连续）设二元函数f(P)在区域有定义，且.若即（或有则称二元函数f(P)在连续.若二元函数f(P)在不连续，则称是二元函数f(P)的间断点.定义2（区域连续）若二元函数f(P)在区域D任意点都连续，
6、则称二元函数f(P)在区域D连续.若二元函数f(P)用坐标表示，即那么二元函数f(x,y)在点连续是即(用方形邻域)有讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．例6:2.二元连续函数的性质，有，则定理4.（保号性）若二元函数f(P)在点连续,且定理2.若二元函数f(P)与g(P)在点连续，则函数在点都连续.定理3.若函数在点连续，并且二元函数f(u,v)在点连续，则复合函数在点连续.),(000yxP[]),(),,(yxyxfyj[]),(),,(),(000000yxyxvuyj=★注：一元函数可看作是特殊的二元函数
7、.例如，可看作是，有从而，一元函数在连续，也就是二元函数在连续即因此，凡是连续的一元函数也是连续的二元函数.例如，二元函数在使分母的点都连续.例７解3.有界闭区域上的连续函数的性质定理5.（有界性）若函数f(P)在有界闭区域连续，则函数f(P)在D有界，即有定理6.（最值性）若函数f(P)在有界闭区域D连续，则函数f(P)在取得最小值m与最大值M，即使且有定理7.（介值性）若二元函数f(x,y)在有界闭区域连续，且m与M分别是函数f(x,y)在D的最小值与最大值，是m与M之间的任意数，则有定义设f(P)在区域有定义
