6.1 二元函数的极限与连续

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1、第6章多元微分学教学目的：1．理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。2．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。4．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。5．掌握多元复合函数偏导数的求法。6．会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。7．了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。8．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数

2、极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值。9．会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。教学重点：1．二元函数的极限与连续性；2．函数的偏导数和全微分；3．方向导数与梯度的概念及其计算；4．多元复合函数偏导数；5．隐函数的偏导数6．曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；7．多元函数极值和条件极值的求法。教学难点：1．二元函数的极限与连续性的概念；2．全微分形式的不变性；3．复合函数偏导数的求法；4．隐函数（包括由方程组

3、确定的隐函数）的偏导数；5．拉格郎日乘数法；6．多元函数的最大值和最小值。6.1二元函数的极限与连续6．1．1区域1．平面点集由平面解析几何知道,当在平面上引入了一个直角坐标系后,平面上的点与有序二元实数组之间就建立了一一对应.于是,我们常把有序实数组与平面上的点视作是等同的.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.二元的序实数组的全体,即就表示坐标平面.坐标平面上具有某种性质的点的集合,称为平面点集,记作：。例如,平面上以原点为中心、为半径的圆内所有点的集合是如果我们以点表示，以表示点到原点的距离,那

4、么集合可表成.2．邻域设是平面上的一个点,d是某一正数.与点距离小于d的点的全体,称为点P0的d邻域,记为,即或.邻域的几何意义：表示平面上以点为中心、d>0为半径的圆的内部的点的全体.点的去心d邻域,记作，即：.注：如果不需要强调邻域的半径d,则用表示点的某个邻域,点的去心邻域记作.3．点与点集之间的关系任意一点PÎR2与任意一个点集EÌR2之间必有以下三种关系中的一种:(1)内点：如果存在点P的某一邻域U(P),使得U(P)ÌE,则称为的内点;(2)外点：如果存在点P的某个邻域U(P),使得U(

5、P)ÇE=Æ,则称为的外点;(3)边界点：如果点P的任一邻域内既有属于的点,也有不属于的点,则称点为的边界点.的边界点的全体,称为的边界,记作¶E.的内点必属于;的外点必定不属于;而的边界点可能属于,也可能不属于.聚点：如果对于任意给定的,点的去心邻域内总有中的点,则称是的聚点.由聚点的定义可知,点集的聚点本身,可以属于,也可能不属于。例如,设平面点集E={(x,y)

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7、都不属于E;满足x2+y2=2的一切点(x,y)也是E的边界点,它们都属于E;点集E以及它的界边¶E上的一切点都是E的聚点.4．区域开集:如果点集E的点都是内点,则称E为开集.闭集:如果点集的余集Ec为开集,则称E为闭集.开集的例子:E={(x,y)

8、1

9、1£x2+y2£2}.集合{(x,y)

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11、为区域或开区域.例如E={(x,y)

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13、1£x2+y2£2}.有界集:对于平面点集E,如果存在某一正数r,使得EÌU(O,r),其中O是坐标原点,则称E为有界点集.无界集:一个集合如果不是有界集,就称这集合为无界集.例如,集合{(x,y)

14、1£x2+y2£2}是有界闭区域;集合{(x,y)

15、x+y>1}是无界开区域;集合{(x,y)

16、x+y³1}是无界闭区域.*5.n维空间设n为取定的一个自然数,我们用表

17、示n元有序数组(x1,x2,×××,xn)的全体所构成的集合,即Rn=R´R´×××´R={(x1,x2,×××,xn)

18、xiÎR,i=1,2,×××,n}.Rn中的元素(x1,x2,×××,xn)有时也用单个字母x来表示,即x=(x1,x2,×××,xn).当所有的xi(i=1,2,×××,n)都为零时,称这样的元素为Rn中的零元,记为0或O.在解析几何中,通过直角坐标,R2(或R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应,因而Rn中的元素x=(x1,