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1、第三节一、函数单调性的判定法二、简单应用函数的单调性第三章y=ƒ(x)oxxyyoy=ƒ(x)用定义来判断函数的单调性有比较法、比值法.但繁!下面讨论如何用导数来判断函数的单调性.反之,能否用导数的符号来判断函数的单调性呢?可见函数的单调性与导数的符号有关.一、函数单调性的判定法若定理1.设函数则在I内单调递增(递减).证:无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明在I内单调递增.在开区间I内可导,证毕例如1、定理1的结论对无穷区间也成立.说明：oxy2、如果函数的导数仅在个别点处（甚至无数个点，只要它们不构成一个区间
2、）为0,而在其余的点处均满足定理1,则定理1仍成立。如：3、有些函数在它的定义区间上不是单调的。如：但它在部分区间上单调,那么怎么来求它的单调区间呢?oxy4、函数y=
3、x
4、,x=0为其连续不可导点。但它在部分区间上单调。那么，又怎么来求它的单调区间呢?oxyy=
5、x
6、的点(单调区间分界点)来划分函数的定义区间,就能保证函数的导数在各个部分区间内保持固定符号,从而可得单调区间及函数的单调性。结论:如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点（甚至无数个点，只要它们不构成一个区间）外，导数都存在且连续,那么只要
7、用方程：(1)确定函数定义域;(2)求出的点,以这些点为分界点划分定义域为多个子区间;(3)确定在各子区间内的符号,从而定出ƒ(x)在各子区间的单调性。一般步骤例1.确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为例2讨论函数的单调性。解定义域为列表讨论如下:的不可导点例3证明不等式下面利用函数的单调性,来证明不等式和判断方程的根的存在性及其个数。1.证明不等式:关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数,并讨论它在指定区间内的单调性。证明：二、简单应用（2）.证明时,成立不等式证:令从而因此且证证明例4
8、证明方程有且仅有一个正根。证有且仅有一个正根。2.讨论方程根的问题由零值定理得：*证明令则从而即二、最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法第四节函数的极值与最大值最小值第三章定义:在其中当时,(1)则称为的极大值点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小值点,称为函数的极小值.极大值点与极小值点统称为极值点.一、函数的极值及其求法问题:请指出右图中的极值及极值点。oxyy=ƒ(x)Mmab（1）由极值定义知:极值是函数的局部性态。即只是函数在一个邻域内最大的值和最小的值,故它只可能在(a,b)的内点处取得。而函数的
9、最大值与最小值则是指整个定义域内区间[a,b]的整体性态,可在[a,b]的内点取得,也可在[a,b]的端点取得。（2）一个函数可能有若干个极小值或极大值；但在定义区间内却最多只有一个最大最小值。（个数）（3）极小值可能比极大值还大；函数的最大值大于等于最小值。（大小）注意:定理1(极值的必要条件)设函数y=ƒ(x)在点处可导。若为函数的极值点(即为极值)，则注意:为极大值点为极小值点不是极值点对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.定理2(极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左
10、负右正”,求极值的一般步骤为:(1)给出定义域;(3)考察这些点两侧导函数的符号，从而确定极值点;(4)求出极值点的函数值,即为极值。(2)并找出定义域内所有驻点及连续不可导点;例1.求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大值点，其极大值为是极小值点，其极小值为定理3(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.例2.求函数的极值.2)求导数3)求驻点令得驻点4)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.解：1）定义域为：二、
11、最大值与最小值问题则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)最大值最小值特别:当在内只有一个极值可疑点时,当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)例3.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解:显然且故函数在取最小值0;在及取最大值5.1.平均成本最小例4某工厂生产产量为x(件)时,生产成本函数(元)为求该厂生产多少件产品时,平均成本达到最小?并求出其最小平均成本和相应的
12、边际成本.三、函数最值在经济中的应用使平均成本最低时的产量故此时，边际成本等于平均成本！即，平均成本达到最小的必要条件是：边际成本等于平均成本！一般地，2.最大利润设总成本函数为C(x),总收益函数为R(x),其中x为产量,则在假设产量和销量一致的情况下,总利润函数为假设产量为时,利润达到最大,则由极值的必要条件和极值的第二充分条件,L(x)必定满足:可见,
