4、板壳问题的有限元

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1、第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程二、矩形薄板单元三、三角形薄板单元四、用矩形薄板单元进行薄壳分析五、用三角形薄板单元进行薄壳分析六、用薄板单元进行薄壳分析的步骤第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程1.薄板弯曲的概念：1）薄板薄膜厚板小于称为薄板第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程1.薄板弯曲的概念：薄板所受任意荷载，均可分解成：2）薄板弯曲受弯板的中面将变形成为一个曲面，垂直于中面的位移称为挠度w。当板的挠度w远小于板厚h时，可引进一些假设简化分析过程，这类问题称为板的小挠度弯曲问题作用于中面的面内载荷－弹性力学平面问题垂直于中面的

2、横向荷载－板的弯曲问题第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程2.薄板弯曲问题的基本假定－克希霍夫假定：1）中面法线变形后既不伸长也不缩短；2）板中面法线变形前是直线，变形后仍保持直线，且与变形后的中面保持垂直；3）中面各点没有平行于中面的位移。假定（1）与梁弯曲问题的互不挤压假定相似z=0即：w=w(x,y)所以：第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程2.薄板弯曲问题基本假定：假定（2）与梁弯曲问题的平面假定相似，即剪切应变：zx=zy=0即：有：利用：w=w(x,y)第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程2.薄板弯曲问题基本假定：所以

3、：再使用假定（3），得：f1(x,y)=0，f2(x,y)=0第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程3.薄板弯曲问题的应变：x=Xxzy＝Xyzxy＝2Xxyzz=yz=zx＝0六个应变分量中，根据假定，已知：其余三个分量：第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程3.薄板弯曲问题的应变：曲率：扭率：薄板的形变分量第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程4.薄板弯曲问题的应力：(x、y、xy）通过平面问题的物理方程由应变求出(z、zx、zy）则必须由三个平衡微分方程求解给出需注意：应力分量（z、zx、zy）尽管相对面内

4、应力分量（x、y、xy）很小，它们对应的应变分量z、zx、zy可略去不计，但它们本身由于是平衡所必须的而不能忽略不计。第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程4.薄板弯曲问题的应力：应力分量（x、y、xy）：特点：均沿厚度呈线性分布，在中面处为零，在板的上、下板面达到最大。第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程4.薄板弯曲问题的应力：应力分量（z、zx、zy）：考虑薄板上、下板面的边界条件解得横向剪应力，为第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程4.薄板弯曲问题的应力：特点：横向剪应力zx、zy沿板厚度方向呈抛物线分布

5、，在板的上、下板面为零，在板中面最大。第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程4.薄板弯曲问题的应力：将z方向所有力作用等效移置到板面上，板上、下表面的边界条件变成利用z方向的平衡条件求z利用边界条件可解得：第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程4.薄板弯曲问题的应力：特点：z沿板厚度方向呈三次方变化最大值发生在板面为q，最小值在板底为0。第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程5.薄板弯曲的平衡微分方程：上式中，利用板下面的边界条件，得：D是板的弯曲刚度，板厚的三次方成正比，与弹模成正比，与梁的弯曲刚度类似第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯

6、曲基本假定和基本方程6.薄板横截面上的内力：第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程6.薄板横截面上的内力：正负规定：在z为正，若应力分量为正，则由此合成的内力为正内力是作用在每单位宽度上的力，例如：弯矩和扭矩的量纲应是［力］，而不是通常的［力］［长度］。第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程6.薄板横截面上的内力：正应力x、y分别与Mx、My成正比，故称为弯应力；剪应力xy与扭矩Mxy成正比，故称为扭应力；剪应力zx、zy与横向剪力Qx、Qy成正比，故称为横向剪应力；正应力z与荷载q成正比，故称为挤压应力。在薄板弯曲问题中，弯应力和扭应力是主要应

7、力，横向剪应力较小，是次要应力，挤压应力更小，是更次要应力。第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程6.薄板横截面上的内力：第五章板壳问题有限单元法一、薄板弯曲基本假定和基本方程7.薄板的势能：由基本假定，故板的应变能为：z=yz=zx＝0外力势能为：总势能：第五章板壳问题有限单元法二、矩形薄板单元1.基本变量：单元内任一点位移:单元内任一点应变:其中:单元内任一点应力:第五章板壳问题有限单元法二、矩