板壳问题的有限元法

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1、11板壳问题的有限元法本章提要本章叙述了薄板弯曲问题有限元法的矩形单元、三角形单元的计算原理与方法，给出了矩形薄板单元、三角形薄板单元结合相应平面应力单元计算板壳问题的基本过程。介绍了适用于薄板弯曲问题、平面应力问题及板壳结构等分析计算的程序。11.1引言从第10章我们已经知道，有限单元法用于三维连续体，特别是它们的线性分析，已经发展得相当成熟。从原则上说，我们也可以利用三维实体单元分析板壳结构问题，并可以避免弹性力学引入的简化，但是这样做在实际分析中遇到了困难。这是由于在用实体单元对结构进行离散时，如果

2、网格适应结构的几何特点，这时单元的厚度较其它方向的尺寸要小得多，于是单元在不同方向的刚度系数相差过大，从而导致结构整体方程的病态或奇异，最后将使解丧失精度或根本失效。反之，为了避免上述问题，保持单元在各个方向尺度相近，将导致单元总数过分庞大，而使整个分析过程难以进行。事实上，目前弹性力学板壳理论已较为成熟，且在工程应用中被证明行之有效。但由于数学求解上的限制，只有少量几何形状、荷载及边界条件较简单的情况才能获得解析的结果。因此，自有限元产生开始，以弹性力学板壳理论为基础的板壳问题有限元法得到了广泛的研究与

3、应用，积累了丰富的文献资料和大量实例分析。本章介绍的是以经典板壳理论为基础的有限元板壳分析，为进一步深入学习打下基础。11.2矩形单元薄板分析在本章板壳问题的有限元法中，板涉及的是薄板，壳则是用薄板弯曲及平面应力问题的组合分析来完成。因此本章的板壳问题有限元分析，是以经典薄板理论为基础，经典薄板问题的基本方程需要引用，但均改用矩阵表示，如广义应变T222⎡∂w∂w∂w⎤{κ}=⎢−2−2−2⎥（11.1）⎣∂x∂y∂x∂y⎦{κ}中各个分量分别代表薄板弯曲后中面在x方向的曲率、y方向的曲率以及在x和y方向

4、的扭率。与之相应的薄板的广义内力是1T{M}=[MMM]（11.2）xyxy其中，Mx，My分别是垂直于x轴和垂直于y轴的截面上单位长度的弯矩，Mxy(=Myx)是垂直于x（y）轴截面上单位长度的扭矩。广义应力应变关系是{M}=[D]{κ}（11.3）其中弹性矩阵[D]，对于各向同性材料是⎡⎤1v03⎢⎥Et[D]=⎢v10⎥（11.4）212(1−v)⎢1−v⎥⎢00⎥⎣2⎦11.2.1单元位移函数设薄板被离散成若干矩形单元的集合，单元的结点位移与结点力（正向）如图11.1所示。θypθymMypMym

5、zyzypmpmθxpθxmMxpMxmwpbwmbFpmFobxoxiiabθxiaajθMxiaxjjMxjθyiwiθyjwjMyiFiMyjFj（a）薄板单元结点位移示意图（b）薄板单元结点力示意图图11.1矩形单元结点位移和结点力记单元的广义结点位移为⎡⎤⎢w⎥i⎢⎥⎡w⎤i⎢⎥⎢⎥⎢∂w⎥{δ}=⎢θ⎥=()(i,j,m,p)（11.5）ixi⎢i⎥⎢⎥∂y⎢⎥⎢θ⎥⎣yi⎦⎢⎥⎢∂w⎥−()⎢i⎥⎣∂x⎦整个单元的位移由四个结点的位移来确定，即eTTTTT{δ}=[δδδδ]（11.6）ij

6、mp相应的广义结点力及单元的广义结点力列阵分别为2⎡F⎤Qi⎢⎥{F}=M(i,j,m,p)（11.7）i⎢xi⎥⎢M⎥⎣yi⎦TTTTT{F}=[FFFF]（11.8）iijmp因为单元结点位移参数（每结点的挠度和绕两坐标轴的转角）总计有12个，即该单元有12个自由度，所以从广义坐标法角度来说位移模式可取为223w=a+ax+ay+ax+axy+ay+ax1234567（11.9）22333+axy+axy+ay+axy+axy89101112根椐式（11.5），分别对x，y求导数得∂w2232θ==a

7、+ax+2ax+ax+2axy+3ay+ax+3axy（11.10）x35689101112∂y∂w2223θ=−=−(a+2ax+ay+3ax+2axy+ay+3axy+ay)（11.11）y2457891112∂x利用式（11.9）、式（11.10）和式（11.11）及四个结点的位移条件即可确定全部待定常数a1—a，将所得系数代回式（11.9），并经整理后即可得到12ew=[N]{δ}（11.12）其中[N]为x，y的函数，称为形函数。显然有[N]=[NNNNNNNNNixiyijxjyjmxmym（

8、11.13）NNN]pxpyp其中ξ1η1⎫[NNN]=[ξη−ξη+2ξξixiyi112212⎪16⎪+2η1η22bη1η2−2aξ1ξ2]⎪ξη⎪21[NNN]=[ξη−ξη+2ξξjxjyj211212⎪16⎪+2ηη2bηη2aξξ]121212⎪⎬（11.14）ξη[NNN]=22[ξη−ξη+2ξξ⎪mxmym22111216⎪+2η1η2−2bη1η22aξ1ξ2]⎪⎪ξη[NNN]=12[ξη−ξη+2ξξ