板壳问题(备份)

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1、第十章平板弯曲问题10.1　基本假设10.2　矩形板元10.3　三角形板元10.4　Mindlin板单元第十一章　壳体问题11.1基于薄壳理论的轴对称壳元　11.1.1　轴对称薄壳理论的基本公式：　11.1.2　截锥薄壳元11.2位移和转动各自独立插值的轴对称壳元　11.2.1　考虑横向剪切变形的轴对称壳体理论的基本公式　11.2.2　截锥壳元页脚第十章　平板弯曲问题薄板弯曲问题在理论及应用上有着重要意义，又为薄壳问题提供理论基础，板单元可用来模拟和分析压力容器和汽车部件。在工程中有着广泛的应用。本节主要讨论薄板弯曲理论的基本假设和基本方程；薄板

2、弯曲问题有限元分析中的矩形单元和三角形单元的构造方法及各自性能上的特点；Mindlin板单元的构造方法和特点。10.1　基本假设如图10.1所示，平分板厚的中间平面，称作板的中面。当板的厚度远小于中面尺寸时，这种板称为薄板。图10.1　薄板弯曲的坐标和广义力选择坐标系时，通常取中面为面，轴则垂直于中面，薄板在垂直中面载荷作用下的变形和受力状态有如下特点：中面上任一点沿轴方向产生挠度;中面弯成曲面，叫做弹性曲面，弹性曲面发生双向弯曲变形，并伴随有扭曲变形;在板的任一横截面上产生横剪力、弯矩和扭矩。在薄板小挠度问题中，通常假设：变形前的中面法线在变形

3、后仍是弹性曲面的法线;板弯曲时，中面不产生应变,也就是说中面是中性层;忽略板厚度的微小变化，忽略应力x对变形的影响，即x0。基于上述假设，平板问题简化成为二维问题，平板内任一点的位移可以用其中面的挠度表示，即：（10.1.1）这里要找出处，太费力了因而广义应变可以由得到，即：页脚(10.1.2)其中中各个分量分别代表薄板弯曲后中面在x方向的曲率，y方向的曲率以及在x和y方向的扭率。薄板的广义内力是(10.1.3)其中和分别是垂直x轴和y轴截面上单位长度的弯矩，（＝）是垂直与轴截面上单位长度的扭矩。根据应力沿方向成线形分布的性质，由，，可以计算板内

4、任一点的应力。设板的厚度为t，则：(10.1.4)广义的应力应变关系是：(10.1.5)其中是弹性关系矩阵，对于各向同性材料是页脚(10.1.6)式中是板的弯曲刚度。将广义应力应变关系式和几何关系式代入平衡方程(10.1.7)可以得到求解挠度的如下微分方程(10.1.8)式中是作用于板表面的方向分布载荷。板弯曲问题的边界条件有以下３种情况：（１）在边界上，给定位移和截面转动，即　　　　　(10.1.9)其中n表示边界的法线方向。特例情况下，为固支边，则，。（２）在边界上，给定位移和力矩，即(10.1.10)　　其中特例情况下，为简支边，则，，即，

5、。式中n，s分别表示边界的法向和切向方向。（３）在边界上给定力矩和横向载荷，即页脚(10.1.11)　　其中和分别是边界截面上单位长度的扭矩和横向剪力，可表达为(10.1.12)特例情况下，为自由边，则，，即和微分方程及边界条件相等效的最小位能原理的泛函表达式可以写成如下形式(10.1.13)其中如前所示，是的2阶导数表达式。10.2　矩形板元考虑图10.2所示矩形单元1234，每个角结点有3个参数：挠度，法线绕轴的转动和绕轴的转动。即页脚图10.2　矩形板元(10.2.1)　　单元的结点位移向量为(10.2.2)用含有12个待定系数的多项式来定

6、义位移函数，为保持对于，的对称性，可以采用下式或写成(10.2.3)其中为了确定待定系数,,…,，可将结点1,2,3,4的坐标代入及其导数的表达式，则可得到下列方程组页脚(10.2.4)将上列方程组表示成矩阵形式，则有(10.2.5)其中Ｃ是依赖于结点坐标的矩阵,通过求逆可以决定待定参数(10.2.6)将上式代回到，则可以得到的插值表示形式(10.2.7)其中插值函数可以表示成(10.2.8)而式中和是单元中心的坐标。10.3　三角形板元矩形单元通常只适合矩形区域的薄板弯曲问题，工程中经常会遇到非矩形区域的薄板弯曲问题下面介绍一种简化的三角形薄板

7、弯曲单元。页脚图10.3　三结点三角形板单元首先考虑3结点三角形板元，每个结点有3个位移参数，即，，，单元共有9个结点位移参数。如果位移函数仍取的多项式形式，则其中包含９项，而一个完备三次多项式包含10项，即所以必须从上式中删去一项。如前所述，前6项代表刚体位移和常应变，是保证收敛所必需的。而三次方项删去任何一项，都不能保持对于和的对称性，如果令，以达到减少一个待定系数并保持对称性的目的。但在此情况下，对于两个边界分别平行于轴和轴的等腰单三角形元，确定的代数方程系数矩阵是奇异的，因此不能确定。还有一种方法是将单元中心挠度也作为一个参数，但按此方案

8、导出的单元是不收敛的。上述困难可用引入面积坐标的方法加以克服。面积坐标和直角坐标的关系：(10.3.1)并有其中是由三角形单元几何形状决