次型及其标准型

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1、§5.二次型及其标准型在解析几何中，为了便于研究二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的坐标变换：把方程化为标准形(1)的左边是一个二次齐次多项式,从代数学的观点看，化标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式，使它只有平方项。这样的问题，在许多理论问题或是实际问题中常会遇到。现在我们把这类问题一般化，讨论n个变量的二次齐次多项式的化简问题。一、二次型概念定义1：含有n个变量x1,x2,…xn的二次齐次函数其中二次型的矩阵形式其中1）称A为二次型f的矩阵，显然A=AT;2）A=(ai

2、j),若aij为复数，称f为复二次型；3)A=(aij),若aij为实数，称f为实二次型；4）称为R(A)为二次型f的秩。例1.把下面的二次型写成矩阵形式；二、二次型的标准形定义9.称只含有平方项的二次型为二次型的标准型（或法式）。所谓一般二次型的化简问题，就是寻找一个可逆的线性变换：定理9任给可逆矩阵C，令B=CTAC，若A为对称矩阵，则B亦为对称矩阵，且R(B)=R(A)。证：A为对称矩阵，即有AT=A，于是，BT=(CTAC)T=CTAT(CT)T=CTAC=B.故B为对称矩阵.再证R(B

3、)=R(A).因B=CTAC,故R(B)≤R(AC)≤R(A).又因A=(CT)-1BC-1,故R(A)≤R(BC-1)≤R(B)于是R(B)=R(A).这定理说明：经可逆变换x=Cy,把f化成yTCTACy，CTAC仍为对称矩阵，且二次型的秩不变。要使二次型f经过可逆变换x=Cy化成标准形，即使f=xTAx也就是要使CTAC成为对角阵，即，CTAC=∧，因此，我们主要的问题就是：对于对称矩阵A，寻求可逆矩阵C，使CTAC=∧.由上节定理8知,任给实对称矩阵A，总有正交矩阵P,使PTAP=∧.把

4、此结论用于二次型，即有：定理10.任意二次型