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1、主要内容二次型的概念化二次型为标准型二次型及其标准形合同矩阵于是(2)式可写成二、二次型的概念定义1称n个变量的二次齐次多项式f(x1,x2,···,xn)=a11x12+a22x22+···+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+···+2an-1,nxn-1xn(2)为二次型.取aij=aji,则2aijxixj=aijxixj+ajixjxi,f(x1,x2,···,xn)=a11x12+a12x1x2+···+a1nx1xn+a21x2x1+a22x22+···+a2nx2xn+···+an1xnx1+
2、an2xnx2+···+annxn2若记A=(aij)n×n,x=(x1,x2,···,xn)T,则关系.(2)式所表示的二次型可以表示成其中AT=A为实对称矩阵,称A为二次型的矩阵.称矩阵A的秩R(A)为二次型的秩.这样,实二次型与实对称矩阵之间就建立起一一对应的例1已知二次型写出二次型的矩阵A,并求出二次型的秩.显然，二次型的秩为解设f=xTAx,则例2已知二次型写出二次型的矩阵A，并求出二次型的秩.解设f=xTAx,则定义2如果一个二次型只含变量的平方项，则称这个二次型为标准形.如果标准形的系数只在1,-1,0三个数
3、中取值，则称之为规范形.的标准形中所含的项数即为该二次型的秩.二次型的秩的意义：一个二次型合同矩阵定义3设A和B是n阶方阵，若有可逆矩阵C，使B=CTAC，则称矩阵A与B合同.可逆矩阵C称为合同变化矩阵.对于二次型，我们讨论的主要问题是:寻求可逆的线性变换x=Cy，使二次型经可逆变换x=Cy变成标准形，就是要使三、化二次型为标准型也就是要使CTAC成为对角矩阵,即CTAC=.由P155的结论应用于二次型,同样存在定理：有正交矩阵Q,使Q-1AQ=,即QTAQ=.把此知,任给实对称矩阵A,总定理1总有正交变换x=Cy,
4、使f化为标准形其中1,2,···,n是f的矩阵A=(aij)的特征值.f=1y12+2y22+···+nyn2,推论任给n元二次型f=xTAx(AT=A),总有可逆变换x=Pz，使f(Pz)为规范形.任给n元二次型f=xTAx(AT=A),用正交变换化二次型为标准形的具体步骤:1.写出二次型f的矩阵A.2.求出矩阵A的所有特征值:1,2,,n.3.对每个=i求出对应方程(AE)x=0的基础解系,并正交、单位化得:P1,P2,,Pn.4.得正交矩阵:C=(P1,P2,,Pn).5.
5、正交变换x=Cy将f化为标准形:例1求一个正交变换x=Cy,将二次型f化为标准形.解f的矩阵为:A的特征值为:对1=4,对2=3=5,正交化得：单位化得：得正交矩阵:C=(P1,P2,P3)故正交变换将f化为标准形:使得C-1AC==说明:则可逆变换(其中P=CK)将f化为规范形:例2二次型经正交变换化为标准形:求a,b及正交矩阵P.解f的矩阵为:由f的标准形可知A的特征值为:对1=1,对2=0,对3=4,故所求正交阵为P=(P1,P2,P3)另一种方法：配方法若二次型含有xi的平方项,则先把含有xi的乘积
6、项先集中,然后配方,再对其余的变量同样进行,直到都配成平方项为止.例3用配方法化二次型为标准形,并求所用变换矩阵.解可将f化为标准形:所用变换矩阵为惯性定理主要内容正定二次型的定义正定二次型正定二次型的条件二次型的标准形不是唯一的,只是标准形中系数不为零的平方项数的个数是唯一的(即是二次型的秩).其中正系数的个数也是唯一的(从而负系数的个数也唯一)。二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数.若二次型f的秩为r,正惯性指数为p，则负惯性指数为r-p.中正数的个数相等.定理1设有实二次型f
7、=xTAx,它的秩为r,有两个可逆变换x=Cy及x=Pz使f=k1y12+k2y22+···+kryr2(ki0),及f=l1z12+l2z22+···+lrzr2(li0),则k1,k2,···,kr中正数的个数与l1,l2,···,lr一、惯性定理这个定理称为惯性定理.定义1二次型f(x)=xTAx,如果二次型,并称对称矩阵A是负定的.如果对任何x0都有f(x)<0,则称f为负定为正定二次型,并称对称矩阵A是正定的;对任x0,都有f(x)>0(显然f(0)=0),则称f二、正定二次型的定义定理2实二次型f(x)
8、=xTAx为正定的充它的标准形的n个系数全为正，即它三、正定二次型的条件推论对称矩阵A为正定的充要条件是A的特征值全为正.的规范形的n个系数全为1.要条件是定理3对称矩阵A为正定的充要条件是对称矩阵A为负定的充要条件是，奇数阶主子式A的各阶主子式都为正,即为负,而偶数阶主子式为正。例1判定下列二次型的正
