次型及其标准型1

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1、在平面解析几何中，我们知道标准方程中的图形为圆。的图形为椭圆。的图形为双曲线。对于一般二次曲线的图形是什么？§6.3二次型及其标准型引言判别下面方程的几何图形是什么？作旋转变换代入(1)左边，化为：见图所示.称为二次型。（1）含有n个变量的二次齐次多项式定义1注：关于二次型的讨论永远约定在实数范围内.一、基本概念例如：都是二次型。不是二次型。取则则（1）式可以表示为二次型用和号表示令则其中A为对称矩阵。二次型的矩阵表示（重点）注:(1)对称矩阵A的写法：A一定是方阵。(2)其对角线上的元素恰好是的系数

2、。(3)的系数的一半分给可保证例如：二次型注：二次型对称矩阵把对称矩阵A称为二次型f的矩阵；也把二次型f称为对称矩阵A的二次型对称矩阵A的秩称为二次型f的秩，记为r(f).二次型定义2例1写出下面二次型f的矩阵表示，并求f的秩。解:问：在二次型中,如不限制A对称,A唯一吗?定义3只含平方项的二次型称为二次型的标准形(或法式)。注：这里规范形要求系数为1的项排在前面，其次排系数为-1的项。平方项系数只在中取值的标准形称为二次型的规范形。设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C，使得则称A与B合同.定义4(1)

3、自反性：A与A合同；(2)对称性：若B与A合同，则A与B合同;(3)传递性：若A与B合同,B与C合同，则A与C合同.说明：矩阵的合同等价相当于二次型可以互化(也称二次型等价).在实对称集合中，合同关系是一个等价关系，即简记若二、可逆线性变换为可逆线性变换。当C是可逆矩阵时,称当C是正交矩阵时，称为正交变换。对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。即二次型经过可逆线性变换使得为什么研究可逆变换？即经过可逆线性变换可化为对于这种矩阵的关系我们来进行定义三、化二次型为标准形

4、1.正交变换法（重点）2.配方法目标：问题转化为：回忆：此结论用于二次型。所以，主轴定理1.正交变换法(重点)解:二次型的矩阵为用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。例13）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化：5)写出正交变换X=QY，则可得标准型注：正交变换化为标准形的优点：在几何中，可以保持曲线（曲面）的几何形状不变。例2解的特征值(1)求二次型的矩阵(2)求A的规范正交的特征向量单位化得正交的基础解系单位化(3)求正交变换矩阵(4)写出二次型的标准形用正交变换X=PY，

5、二次型f化为标准形为经正交变换化为标准形例3设二次型求(1)a,b;(2)正交变换矩阵Q.解二次型的矩阵为由题意由相似矩阵的性质得，从而解得A与D有相同的特征值，分别为求得它们对应的特征向量(正交)为再单位化并排成矩阵即得所求的正交变换矩阵2.配方法⑴同时含有平方项与交叉项的情形。用配方法将下列二次型经可逆线性变换化为标准形。解：例4令二次型的标准形为所求的可逆线性变换为即解:令⑵只含交叉项的情形。为标准形,并求出所作的可逆线性变换.用配方法化二次型例5即即令则二次型的标准形为所用的可逆线性变换为即1

6、、(1)合同且相似；(2)合同但不相似；(3)不合同但相似；(4)不合同且不相似。思考作业18P176:7(1)，8