次型及其标准型

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1、§5.二次型及其标准型在解析几何中,为了便于研究二次曲线的几何性质,我们可以选择适当的坐标变换:把方程化为标准形(1)的左边是一个二次齐次多项式,从代数学的观点看,化标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式,使它只有平方项。这样的问题,在许多理论问题或是实际问题中常会遇到。现在我们把这类问题一般化,讨论n个变量的二次齐次多项式的化简问题。一、二次型概念定义1:含有n个变量x1,x2,…xn的二次齐次函数其中二次型的矩阵形式其中1)称A为二次型f的矩阵,显然A=AT;2)A=(ai

2、j),若aij为复数,称f为复二次型;3)A=(aij),若aij为实数,称f为实二次型;4)称为R(A)为二次型f的秩。例1.把下面的二次型写成矩阵形式;二、二次型的标准形定义9.称只含有平方项的二次型为二次型的标准型(或法式)。所谓一般二次型的化简问题,就是寻找一个可逆的线性变换:定理9任给可逆矩阵C,令B=CTAC,若A为对称矩阵,则B亦为对称矩阵,且R(B)=R(A)。证:A为对称矩阵,即有AT=A,于是,BT=(CTAC)T=CTAT(CT)T=CTAC=B.故B为对称矩阵.再证R(B

3、)=R(A).因B=CTAC,故R(B)≤R(AC)≤R(A).又因A=(CT)-1BC-1,故R(A)≤R(BC-1)≤R(B)于是R(B)=R(A).这定理说明:经可逆变换x=Cy,把f化成yTCTACy,CTAC仍为对称矩阵,且二次型的秩不变。要使二次型f经过可逆变换x=Cy化成标准形,即使f=xTAx也就是要使CTAC成为对角阵,即,CTAC=∧,因此,我们主要的问题就是:对于对称矩阵A,寻求可逆矩阵C,使CTAC=∧.由上节定理8知,任给实对称矩阵A,总有正交矩阵P,使PTAP=∧.把

4、此结论用于二次型,即有:定理10.任意二次型

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