高中数学第三章数系的扩展与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念学案含解析

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1、3．1.1　数系的扩充和复数的概念复数的概念及代数表示问题1：方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？提示：没有．问题2：若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗．提示：有解(x＝±i)，但不在实数范围内．1．复数的定义形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.全体复数所成的集合C叫做复数集．2．复数的表示复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部．3．复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋bi

2、

3、a，b∈R}中任取两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.对复数概念的理解(1)对复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时，a和b才分别是复数的实部和虚部，并注意：虚部是实数b而非bi.(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．(3)利用复数相等，可以把复数问题转化成实数问题进行解决，并且一个复数等式可得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件.复数的分类问题1：复数z＝a＋bi在什么情况下表示实

4、数？提示：b＝0.问题2：如何用集合关系表示实数集R和复数集C?提示：RC.7复数的分类(1)复数a＋bi(a，b∈R)(2)集合表示：　　1．0的特殊性0是实数，因此也是复数，写成a＋bi(a，b∈R)的形式为0＋0i，即其实部和虚部都是0.2．a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的充分条件吗？因为当a＝0且b≠0时，z＝a＋bi才是纯虚数，所以a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的必要不充分条件．复数相等的充要条件　(1)若5－12i＝xi＋y(x，y∈R)，则x＝________，y＝________.(2)已知

5、(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x，y∈R，i为虚数单位．求实数x，y的值．　(1)由复数相等的充要条件可知x＝－12，y＝5.(2)根据复数相等的充要条件，由(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，得解得即x＝，y＝4.答案：(1)－12　5　(2)x＝，y＝4.解决复数相等问题的步骤(1)等号两侧都写成复数的代数形式；(2)根据两个复数相等的充要条件列出方程(组)；(3)解方程(组)．已知(2x＋8y)＋(x－6y)i＝14－13i，求实数x，y的值．解：由复数相等的充要条件，得7解得复数的分类　已知m∈

6、R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i.(1)当m为何值时，z为实数？(2)当m为何值时，z为虚数？(3)当m为何值时，z为纯虚数？　(1)要使z为实数，需满足m2＋2m－3＝0，且有意义即m－1≠0，解得m＝－3.(2)要使z为虚数，需满足m2＋2m－3≠0，且有意义即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.(3)要使z为纯虚数，需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.利用复数的分类求参数的方法及注意事项利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．要特别注

7、意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i.(1)当m为何值时，z是实数？(2)当m为何值时，z是纯虚数？解：(1)要使复数z为实数，需满足解得m＝－2或－1，即当m＝－2或－1时，z是实数．(2)要使复数z为纯虚数，需满足解得m＝3，即当m＝3时，z是纯虚数．7　　　　　(上海高考)设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.　复数m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数的充要条件是解得即m

8、＝－2.故m＝－2时，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数．　－21．若忽视“纯虚数的虚部不为0”这一条件，易得出m＝1或m＝－2的错误结论．2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数的充要条件为二者缺一不可．若z＝(x2－1)2＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　)A．－1　　　　　　　　B．0C．1D．－1或1解析：选A　因为z为纯虚数，所以(x2－1)2＝0.又x－1≠0，所以x＝－1.1．在2＋，i,0,8＋5i，(1－)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为(　　)A．0　B．1C．2D．3解

9、析：选C　i，(1－)i是纯虚数；2＋，0，0.618是实数；8＋5i是虚数．2．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的复数是(　　)A．2－2iB．2＋2iC．－＋iD.＋i解析：选A　－＋2i的虚部为2，i＋2i2＝－2＋i，其实部为－2，故所求复数为2－2i.3．下列命题：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；7②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈