高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念同步学案

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1、3.1.1　数系的扩充和复数的概念学习目标　1.了解数系的扩充过程与引入复数的必要性.2.理解复数的有关概念及其代数形式.3.掌握实数、虚数、纯虚数之间的关系及复数相等的充要条件.4.利用两个复数相等的充要条件解决实际问题．知识点一　对虚数单位的理解在实数集中，有些方程是无解的，例如x2＋1＝0，为此，人们引进一个新数i，并且规定：(1)它的平方等于－1，即i2＝－1；(2)实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．知识点二　复数的概念与分类思考　为解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到

2、实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答案　设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．梳理　(1)复数①定义：把集合C＝{a＋bi

3、a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．(2)复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集．②表示：通常用大写字母C表示．知识点三　两个复数相等的充要条件思考　由4>

4、2能否推出4＋i>2＋i?答案　不能．当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．梳理　在复数集C＝{a＋bi

5、a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.知识点四　复数的分类(1)复数(a＋bi，a，b∈R)(2)集合表示：1．若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　×　)2．复数z＝bi是纯虚数．(　×　)3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(　√　)类型一　数系的扩充与复数的概念例1　(1)在2＋

6、，i,0,8＋5i，(1－)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为(　　)A．0B．1C．2D．3(2)给出下列四个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③复数3－4i的实部与复数4－3i的虚部相等；④若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．其中真命题的个数为(　　)A．0B．1C．2D．3考点　复数的概念题点　复数的概念及分类答案　(1)C　(2)A解析　(1)i，(1－)i为纯虚数；2＋，0,0.618是实数；8＋5i是虚数．(2)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不一定成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①为假命题．对于

7、②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题．对于③，复数3－4i的实部为3，复数4－3i的虚部为－3，因此③为假命题．对于④，当a＝－1时，(a＋1)i为实数，所以④为假命题，因此四个命题都是假命题．反思与感悟　(1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否定，

8、后肯定”的方法进行解答．跟踪训练1　下列命题：①1＋i2＝0；②若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；③两个虚数不能比较大小．是真命题的为________．(填序号)考点　复数的概念题点　复数的概念及分类答案　①③解析　②当x＝i，y＝1时，x2＋y2＝0，所以②错．所以①③正确．类型二　复数的分类例2　求当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i分别是：(1)虚数；(2)纯虚数．考点　复数的概念题点　复数的概念及分类解　(1)复数z是虚数的充要条件是解得m≠－3且m≠－2.∴当m≠－3且m≠－2时，复数z是虚数．(2)复数z是纯虚数的充要条件是

9、解得即m＝3.∴当m＝3时，复数z是纯虚数．引申探究1．若本例条件不变，m为何值时，z为实数．解　由已知得，复数z的实部为，虚部为m2＋5m＋6.复数z是实数的充要条件是解得即m＝－2.∴当m＝－2时，复数z是实数．2．已知i是虚数单位，m∈R，复数z＝＋(m2－2m－15)i，则当m＝________时，z为纯虚数．答案　3或－2解析　由题意知解得m＝3或－2.反思与感悟　根据复数的定义，对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，z∈R；当且仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数．要充分理解复数为纯虚数的等价条件，切不可忘记复数z＝a

10、＋bi(a，b∈R)为纯虚数的另一个必要条件是b≠0，计算中分母不为0也不可忽视．跟踪训练2　已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，当实数m取什么值时，复