高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念学案含解析

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1、3．1.1&3.1.2　变化率问题　导数的概念平均变化率[提出问题]假设下图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．问题1：若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变量x和函数值y的改变量Δx，Δy分别是多少？提示：自变量x的改变量为Δx＝x2－x1，函数值的改变量为Δy＝y2－y1.问题2：Δy的大小能否判断山路的陡峭程度？提示：不能．问题3：怎样用

2、数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？提示：对山坡AB来说，＝可近似地刻画．问题4：能用刻画山路陡峭程度的原因是什么？提示：因表示A，B两点所在直线的斜率k，显然，“线段”所在直线的斜率越大，山路越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比越大，山路越陡；反之，山路越缓．问题5：从点A到点B和从点A到点C，两者的相同吗？提示：不相同．[导入新知]函数的平均变化率对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1，x2，当自变量x从x1变为x212时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x

3、2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2.类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率可表示为.[化解疑难]1．正确理解增量Δx与ΔyΔx是自变量x在x0处的改变量，不是Δ与x的乘积，Δx的值可正，可负，但不能为0.Δy是函数值的改变量，可正，可负，也可以是0.函数的平均变化率为0，并不一定说明函数f(x)没有变化．2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．利用平均变化率的大小可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度.导数的概念[提出问题]一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表

4、示位移，t表示时间．问题1：试求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．提示：＝＝－6－3Δt.问题2：当Δt趋近于0时，“问题1”中的平均速度趋近于什么？如何理解这一速度？提示：当Δt趋近于0时，趋近于－6.这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度．[导入新知]1．瞬时速度的概念物体在某一时刻的速度称为瞬时速度：设物体运动的路程与时间的关系是s＝s(t)，当Δt趋近于0时，函数s(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率趋近于一个常数，把这个常数称为瞬时速度．2．导数的定义函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率：12＝，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x

5、0处的导数，记作f′(x0)或y′

6、x＝x0，即f′(x0)＝＝.[化解疑难]导数概念的理解(1)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0处及其附近的函数值有关，与Δx无关．(2)f′(x0)是一个常数，即当Δx→0时，存在一个常数与无限接近．求函数的平均变化率[例1]　求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．[解]　函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝＝＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2

7、.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.[类题通法]求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy.求平均变化率的主要步骤是：(1)计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．(2)计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.(3)得平均变化率＝.[活学活用]已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x12从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．解析：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为＝＝；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为＝＝.因为＜，

8、所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快.求函数在某点处的导数[例2]　根据导数的定义求下列函数的导数．(1)求函数y＝x2＋3在x＝1处的导数；(2)求函数y＝在x＝a(a≠0)处的导数．[解]　(1)Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2＋3]－(12＋3)＝2Δx＋(Δx)2，∴＝＝2＋Δx.∴y′

9、x＝1＝(2＋Δx)＝2.(2)Δy＝f(a＋Δx)－f(a)＝－＝＝－，∴＝－·＝－.∴y′

10、x＝a＝＝－.[类题通法]12求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤[活学活用]已知函数y＝f(x)＝ax2＋c且f′(1

11、)＝2，求a的值．解：f′(1)＝＝＝＝＝(2a＋a·Δx)＝2a