高中数学第一章导数及其应用1.1.3导数的几何意义学案含解析

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1、1.1.3 导数的几何意义导数的几何意义如下图,Pn的坐标为(xn,f(xn))(n=1,2,3,4),P的坐标为(x0,y0),直线PT为过点P的切线.问题1:割线PPn的斜率kn是什么?提示:割线PPn的斜率kn==.问题2:当点Pn趋近于点P时,割线PPn与过点P的切线PT有什么关系?提示:当点Pn趋近于点P时,割线PPn趋近于过点P的切线PT.问题3:当Pn无限趋近于点P时,kn与切线PT的斜率k有什么关系?提示:kn无限趋近于切线PT的斜率k.问题4:如何求得过点P的切线PT的斜率?提示

2、:函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k,即k==f′(x0).导数的几何意义函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k,即k=f′(x0)=.导数与函数图象升降的关系若函数y=f(x)在x=x0处的导数存在且f′(x0)>0(即切线的斜率大于零),则函数y=f(x)在x=x0附近的图象是上升的;若f′(x0)<0(即切线的斜率小于零),则函数y=f(x)在x=x0附近的图象是下降的.导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢.10导函数对于函数f(x)=-x2+2.问题1:如

3、何求f′(x0)?提示:f′(x0)=li=li(-2x0-Δx)=-2x0.问题2:若x0是一变量x,f′(x)是常量吗?提示:f′(x)=-2x,说明f′(x)不是常量,而是关于x的函数.导函数的定义对于函数y=f(x),当x=x0时,f′(x0)是一个确定的数.当x变化时,f′(x)便是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y′,即f′(x)=y′=.f′(x0)与f′(x)的异同区别联系f′(x0)f′(x0)是具体的值,是数值在x=x0处的导

4、数f′(x0)是导函数f′(x)在x=x0处的函数值,因此求函数在某一点处的导数,一般先求导函数,再计算导函数在这一点的函数值f′(x)f′(x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数,是函数利用导数定义求函数的导数 利用导数的定义求下列函数的导数.(1)y=-3x2+2x-1;(2)y=+a(a为常数). (1)∵Δy=-3(x+Δx)2+2(x+Δx)-1-(-3x2+2x-1)=(2-6x)Δx-3(Δx)2,∴==2-6x-3Δx,10∴y′=li=li(2-6x-3Δx

5、)=2-6x.(2)∵Δy=+a--a=,∴==,∴li=li=-,即y′=-.求函数y=f(x)的导数的步骤(1)求Δy=f(x+Δx)-f(x);(2)求=;(3)计算f′(x)=li.利用导数的定义求函数f(x)=x3+x-2的导数f′(x),并利用f′(x)求f′(-1),f′(1).解:利用导数的定义,得f′(x)=li=li=li=3x2+1,∴f′(x)=3x2+1,则f′(-1)=4,f′(1)=4.求曲线的切线方程   已知曲线y=x3及其上一点P.(1)求点P处切线的斜率;(2

6、)写出点P处的切线方程. (1)∵y=x3,10∴y′=li=li=li=li=x2,∴y′

7、x=2=22=4,∴点P处切线的斜率为4.(2)由(1)知,点P处切线斜率为4,且点P的坐标为,∴在点P处的切线方程是y-=4(x-2),即12x-3y-16=0.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤(1)求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0);(2)写出切线方程,即y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0).特别注意:若在点(x0,y0)处切线的倾斜角为,此时所求的切线平行于y轴,所以直接得切

8、线方程为x=x0.求曲线y=在点处的切线的斜率.解:因为y′=li=li=li=-,所以曲线在点的切线的斜率为k=y′

9、x==-4.求切点坐标 若曲线y=x2+6在点P处的切线垂直于直线2x-y+5=0,求点P的坐标及切线方程. 设切点P的坐标为(x0,y0),10因为f′(x0)=li=li=li(2x0+Δx)=2x0,所以2x0·2=-1,解得x0=-,所以y0=x+6=,故点P的坐标为,切线方程为y-=-,即8x+16y-95=0.根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0,y0)

10、;(2)求导函数f′(x);(3)求切线的斜率f′(x0);(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0;(5)由点(x0,y0)在曲线f(x)上,将(x0,y0)代入求y0得切点坐标.曲线y=x3-3x2+1在点P处的切线平行于直线y=9x-1,则切线方程为(  )A.y=9x     B.y=9x-26C.y=9x+26D.y=9x+6或y=9x-26解析:选D ===(Δx)2+3x0Δx-3Δx+3x-6x0.所以f′(x0)=li=3x-6x0,于是3x-6x0=

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