命题逻辑基本概念ch1

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1、第1章命题逻辑基本概念离散数学计算机系张顺淼本章说明本章的主要内容命题、联结词、复合命题命题公式、赋值、命题公式的分类本章与后续各章的关系本章是后续各章的准备或前提1.1命题与联结词数理逻辑研究的中心问题是推理。推理的前提和结论都是表达判断的陈述句。表达判断的陈述句构成了推理的基本单位。1.1命题与联结词称能判断真假而不是可真可假的陈述句为命题（proposition）。作为命题的陈述句所表达得的判断结果称为命题的真值。真值只取两个：真与假。真值为真的命题称为真命题。真值为假的命题称为假命题。感叹句、疑问句、祈使句都不能称为命题。判断结果不唯一确定的陈述句不是命题。陈述句中的

2、悖论不是命题。说明4是素数。x大于y。充分大的偶数等于两个素数之和。今天是星期二。请不要吸烟！这朵花真美丽啊！我正在说假话。例1.1判断下列句子是否为命题。是，假命题是，真命题不是，无确定的真值是，真值客观存在是，真值根据具体情况而定。不是，疑问句不是，祈使句不是，感叹句不是，悖论命题和真值的符号化用小写英文字母p,q,r…,pi,qi,ri…表示命题用“1”表示真，用“0”表示假r：充分大的偶数等于两个素数之和。s：今天是星期二。p：4是素数。q：不能被分解成更简单的陈述句，称这样的命题为简单命题或原子命题。由简单陈述句通过联结词而成的陈述句，称这样的命题为复合命题。例1.2

3、将下面这段陈述中所出现的原子命题符号化，并指出它们的真值，然后再写出这段陈述。是有理数是不对的；2是偶素数；2或4是素数；如果2是素数，则3也是素数；2是素数当且仅当3也是素数。p：是有理数q：2是素数；r：2是偶数s：3是素数；t：4是素数01110非p；q并且(与)r；q或t；如果q，则s；q当且仅当s。例1.2的讨论半形式化形式数理逻辑研究方法的主要特征是将论述或推理中的各种要素都符号化。即构造各种符号语言来代替自然语言。形式化语言：完全由符号所构成的语言。将联结词（connective）符号化，消除其二义性，对其进行严格定义。例如：他是100米或400米赛跑的冠军。鱼香

4、肉丝或锅包肉，加一碗汤。定义1.1否定(negation)设p为命题，复合命题“非p”(或“p的否定”)称为p的否定式,记作┐p，符号┐称作否定联结词，并规定┐p为真当且仅当p为假。例如：p：上海是一个大城市。┐p：上海是一个不大城市。┐p：上海不是一个大城市。p┐p1001定义1.2合取(conjunction)设p,q为二命题，复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q的合取式，记作p∧q，∧称作合取联结词，并规定p∧q为真当且仅当p与q同时为真。使用合取联结词时要注意的两点：描述合取式的灵活性与多样性。自然语言中的“既……又……”、“不但……而且……”、“虽然……但

5、是……”、“一面……一面……”等联结词都可以符号化为∧。分清简单命题与复合命题。不要见到“与”或“和”就使用联结词∧。pqp∧q111100010000例1.3将下列命题符号化吴颖既用功又聪明。吴颖不仅用功而且聪明。吴颖虽然聪明，但不用功。张辉与王丽都是三好学生。张辉与王丽是同学。p:吴颖用功。q:吴颖聪明。r:张辉是三好学生。s:王丽是三好学生。t:张辉与王丽是同学。(1)p∧q(2)p∧q(3)q∧┐p(4)r∧s(5)t解题要点：正确理解命题含义。找出原子命题并符号化。选择恰当的联结词。合取举例p：我们去看电影。q：房间里有十张桌子。p∧q：我们去看电影并且房间里有十张

6、桌子。在数理逻辑中，关心的只是复合命题与构成复合命题的各原子命题之间的真值关系，即抽象的逻辑关系，并不关心各语句的具体内容。说明定义1.3析取(disjunction)设p，q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q，∨称作析取联结词，并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假。自然语言中的“或”具有二义性，用它联结的命题有时具有相容性，有时具有排斥性，对应的联结词分别称为相容或和排斥或(排异或)。说明pqp∨q111101011000例1.4将下列命题符号化张晓静爱唱歌或爱听音乐。张晓静只能挑选202或203房间。张晓静是江西人或安徽人。他昨天做了二十或三十道习

7、题。设p：张晓静爱唱歌，q：张晓静爱听音乐。相容或，符号化为p∨q设t：张晓静挑选202房间，u：张晓静挑选203房间。排斥或，符号化为：(t∧┐u)∨(┐t∧u)设r：张晓静是江西人，s：张晓静是安徽人。排斥或，符号化为：r∨s。(排斥或联结的两个命题事实上不可能同时为真)或符号化为：(r∧┐s)∨(┐r∧s)原子命题，因为“或”只表示了习题的近似数目。定义1.4蕴涵(implication)设p，q为二命题，复合命题“如果p，则q”称作p与q的蕴涵式，记作p→q，并称p是蕴涵式的前件