命题逻辑基本概念

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1、Home}目录§1.2命题公式及其赋值§1.1命题与联结词第一章命题逻辑的基本概念1、命题及其真值数理逻辑研究的中心问题是推理。推理的前提和结论都是表达判断的陈述句。这样，表达判断的陈述句构成了推理的基本单位。命题是客观上能判明真假的陈述句。作为命题的陈述句所表达得的判断结果称为命题的真值。当命题为真时，称命题的真值为“真”；否则，说命题的真值为“假”。用T或1表示“真”，用F或0表示“假”。§1.1命题与联结词深圳市是广东省省会。x大于y。外星人曾来过地球。今天是星期二。请不要吸烟！这朵花真美丽啊！本命题为假。例１判断下列句子是否为命题。是，假命题是，真命题不是，无确定的真值是，

2、真值客观存在是，真值根据具体情况而定不是，疑问句不是，祈使句不是，感叹句不是，悖论2、原子命题与复合命题无法继续分解的简单陈述句，称为简单命题或原子命题。由一个或几个简单命题通过联结词复合而成的命题，称为复合命题。命题一般用大写英文字母表示。表示命题的符号叫命题标识符。例如，用Ｐ表示“３是奇数”，记作“Ｐ：３是奇数”。否定联结词合取联结词∧析取联结词∨条件联结词双条件联结词3、命题联结词定义1否定联结词设Ｐ为命题，复合命题非Ｐ，叫Ｐ的否定式，记作Ｐ。记号叫否定联结词。Ｐ为真当且仅当Ｐ为假。p┐p1001例如，设Ｐ：今天是星期一。则Ｐ：今天不是星期一。练习，设Ｐ：韶关是

3、一个大城市。则Ｐ：韶关不是一个大城市。设Ｐ，Ｑ表示两个命题，复合命题“Ｐ且Ｑ”叫命题Ｐ与Ｑ的合取，记作Ｐ∧Ｑ。记号∧叫合取联结词。Ｐ∧Ｑ为真，当且仅当Ｐ，Ｑ同时为真。定义2合取联结词pqp∧q111100010000使用合取联结词时要注意的两点：1、描述合取式的灵活性与多样性。自然语言中的“既…又…”、“不但…而且…”、“虽然…但是…”、“一面…一面…”等联结词都可以符号化为∧。2、分清简单命题与复合命题。例2将下列命题符号化。吴颖既用功又聪明。吴颖不仅用功而且聪明。吴颖虽然聪明但不用功。张辉与王丽都是三好学生。张辉与王丽是同学。设p:吴颖用功。q:吴颖聪明。r:张辉是三好学生。

4、s:王丽是三好学生。t:张辉与王丽是同学。(1)p∧q(2)p∧q(3)q∧┐p(4)r∧s(5)t解题要点：正确理解命题含义。找出原子命题并符号化。选择恰当的联结词。设Ｐ，Ｑ为二命题，复合命题“Ｐ或Ｑ”称Ｐ与Ｑ的析取，记作Ｐ∨Ｑ,∨叫析取联结词.Ｐ∨Ｑ为假，当且仅当Ｐ，Ｑ均为假。定义3析取联结词pqp∨q111101011000自然语言中的“或”具有二义性，用它联结的命题有时具有相容性，有时具有排斥性，对应的联结词分别称为相容或和排斥或(排异或)。解：(1)设Ｐ:小王是跳远冠军.Ｑ:小王是百米赛跑冠军。符号化为:Ｐ∨Ｑ。（相容或）(2)设Ｐ：小王在宿舍。Ｑ：小王在图书馆。符号化为

5、:（Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧Ｑ）。（排斥或）(3)设Ｐ：小王是计算机系的学生。Ｑ：小王是广东人。Ｒ：小王是湖南人。Ｓ：小王是三好学生。符号化为:Ｐ∧（（Ｑ∧Ｒ）∨（Ｑ∧Ｒ））∧Ｓ。例3将下列命题符号化：(1)小王是跳远冠军或百米赛跑冠军。(2)小王在宿舍或在图书馆。(3)小王是计算机系的学生。他是广东人或湖南人，是三好学生。设Ｐ,Ｑ是二命题，复合命题“若Ｐ,则Ｑ”称为Ｐ与Ｑ的条件命题，记作Ｐ→Ｑ。其中Ｐ叫前件或前题，Ｑ叫后件或结论。Ｐ→Ｑ为假当且仅当Ｐ为真和Ｑ为假。定义4条件联结词pqp→q111100011001p→q的逻辑关系表示q是p的必要条件。q是p的必要条件有许多不同

6、的叙述方式只要p，就q；因为p，所以q；p仅当q；只有q才p；除非q才p；除非q，否则非p。解：设Ｐ：天下雨，Ｑ：我骑车上班。(1)Ｐ→Ｑ。天不下雨是骑车上班的充分条件。(2)Ｑ→Ｐ或Ｐ→Ｑ。如果骑车上班，一定是天不下雨。但天不下雨也可能不骑车上班。(3)设X：2+2＝4。Y：太阳从西边出来。则原命题表示为：X→Y。其真值为1例4将下列命题符号化：(1)只要天不下雨，我就骑自行车上班。(2)只有天不下雨，我才骑自行车上班。(3)如果2+2≠4，则太阳从西边出来。设Ｐ,Ｑ为二命题，复合命题“Ｐ当且仅当Ｑ”称为Ｐ与Ｑ的双条件命题，记作ＰＱ。叫双条件联结词。ＰＱ为真当

7、且仅当Ｐ,Ｑ真值相同。定义5双条件联结词pqpq111100010001也称等价联结词。pq的逻辑关系为p与q互为充分必要条件。(p→q)∧(q→p)与pq的逻辑关系完全一致。说明例5、将下列命题符号化，并讨论它们的真值。π是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。2+3＝5的充要条件是π是无理数。当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之，当她唱歌时，一定心情愉快。解：设p：π是无理数，q：加拿大位于亚洲。符号化为pq，真值为0。解：设p：2+3＝5，q：π是无理数。符