命题逻辑的基本概念

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1、命题逻辑的基本概念第一节命题一、什么是命题　　命题是一个非真即假（不可兼）的陈述句。有两层意思，首先命题是一个陈述句，而命令句、疑问句和感叹句都不是命题。其次是说这个陈述句所表达的内容可决定是真还是假，而且不是真的就是假的，不能不真又不假，也不能又真又假。凡与事实相符的陈述句为真语句，而与事实不符的陈述句为假语句。这就是说，一个命题具有两种可能的取值（又称真值）为真或为假，又只能取其一。通常用大写字母T表示真值为真，用F表示真值为假，有时也可分别用1和0表示它们。因为只有两种取值，所以这样的命题逻辑称为二值逻辑。我们把以

2、这种非真必假的命题作为研究对象的逻辑称为古典逻辑，但也有人反对关于命题的这种观点，认为存在既不真也不假的命题，例如：直觉主义逻辑、多值逻辑等。举例　　举例说明命题概念：　　1."雪是白的"。是一个陈述句，可决定真值，显然其真值为真，或说为T，所以是一个命题。　　2."雪是黑的"。是一个陈述句，可决定真值，显然其真值为假，或说为F，所以是一个命题。　　3."好大的雪啊！"不是陈述句，不是命题。　　4."一个偶数可表示成两个素数之和"（哥德巴赫猜想）。是命题，或为真或为假，只不过当今尚不知其是真命题还是假命题。　　5."1+

3、101=110"。这是一个数学表达式，相当于一个陈述句，可以叙述为"1加101等110"，这个句子所表达的内容在十进制范围中真值为假，而在二进制范围中真值为真。可见这个命题的真值还与所讨论问题的范围有关。　举例　　举例：下列句子都是命题　　（1）8小于12。　　（2）8大于12。　　（3）21世纪末，人类将住在月球。　　（4）任何一个大于5的偶数可表成两个素数的和。　　（1）显然为命题，它陈述了一个事实。（2）表示了一个错误的判断，故为假，又是一个陈述句，故为命题。（3）也是命题，虽然现在还不知道真假，但到21世纪末，就

4、能知其真假，故它是不为真必为假的一个陈述句，即为命题。（4）是不知真假的一个陈述句，但"不知"不等于"不存在"，这句话要么为真，要么为假，只是不知道而已，故也为一个命题。　举例　　举例：下列句子不是命题。　　（1）8大于12吗？　　（2）请勿吸烟。　　（3）X大于Y。　　（4）本页这一行的这句话是假话。　　（1）是一个疑问句，不是陈述句。（2）是一个祈使句。（3）是一个不能确定其真假的句子，它可能为真，也可能为假，从而不为命题。在判断一个语句是否是命题时，从语法上就是看他是否是陈述句。但值得注意的是，这里所说的陈述句不包

5、括那些"自指谓"的语句。如（4）这个语句，它的结论是对自身而言的，就是所谓"自指谓"的。这种自指谓的语句往往会产生自相矛盾的结论，即所谓的悖论。如上面这句话，如果承认它是真的，由于本页这一行中没有别的话，所以必须承认它是假的；另一方面，如果承认它是假的，这刚好就是这句话所说的，所以又必须承认它是真的。因此这句话本身包含了悖论。我们在判断一个语句是否是命题时把这种语句排除在命题之外。二、命题变项　　为了对命题作逻辑演算，采用数学手法将命题符号化（形式化）是十分重要的。我们约定用大写字母表示命题，如以P表示"雪是白的"，Q表

6、示"北京是中国的首都"等等。当P表示任一命题时，P就称为命题变项（变元）。　　有些文献中，用小写拉丁字母表示命题变量：p，q，r，…，而用大写字母代表具体的、确指的命题：P，Q，R，…，本书在不发生混淆的地方有时也用大写字母代表命题变量。　　　　命题与命题变项含义是不同的，命题指具体的陈述句，是有确定的真值，而命题变项的真值不定，只当将某个具体命题代入命题变项时，命题变项化为命题，方可确定其真值。命题与命题变项象初等数学中常量与变量的关系一样。如5是一个常量，是一个确定的数字，而x是一个变量，赋给它一个什么值它就代表什么

7、值，即x的值是不定的。初等数学的运算规则中对常量与变量的处理原则是相同的，同样在命题逻辑的演算中，命题与命题变项的处理原则也是相同的。因此，除在概念上要区分命题与命题变项外，在逻辑演算中就不再区分它们了。三、简单命题和复合命题　　简单命题又称原子命题，它是不包含任何的与、或、非一类联结词的命题。如1.1.1中所举的命题例子都是简单命题。这样的命题是不可再分割了，如再分割就不是命题了。而像命题"雪是白的而且1+1=2"，就不是简单命题，它可以分割为"雪是白的"以及"1+1=2"两个简单命题,联结词是"而且"。在简单命题中，

8、尽管常有主语和谓语，但我们不去加以分割，是将简单命题作为一个不可分的整体看待，进而作命题演算。在谓词逻辑里，才对命题中的主谓结构进行深入分析。　　仅只限于简单命题的讨论，除分别讨论真值外，再没有可研究的内容了。而命题逻辑所讨论的正是多个命题联结而成的复合命题的规律性。把一个或几个简单命题用联结词（如与、或、非）联结所