命题及其关系、充分条件与必要条

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1、要点梳理1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的,能够________的陈述句叫做命题.其中________的语句叫真命题,________的语句叫假命题.§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件基础知识自主学习判断真假判断为真判断为假2.四种命题及其关系(1)四种命题(2)四种命题间的逆否关系命题表述形式原命题若p,则q逆命题__________否命题___________逆否命题___________若q,则p(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们有____的真假性;②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性________.3.

2、充分条件与必要条件(1)如果pq,则p是q的________,q是p的________;(2)如果pq,qp,则p是q的________.4.特别注意:命题的否命题是既否定命题的条件,又否定命题的结论;而命题的否定是只否定命题的结论.相同没有关系充分条件必要条件充要条件基础自测1.有下列四个命题:①“若x+y=0,则x、y互为相反数”的逆命题;②“若a>b,则a2>b2”的逆否命题;③“若x≤-3,则x2+x-6>0”的否命题;④“若ab是无理数,则a、b是无理数”的逆命题.其中真命题是____.解析①正确,②错,③错,在④中,令则ab=2是有理数,故

3、④错.①2.（2009·靖江调研）“x>1”是“x2>x”的___________条件.解析x>1x2>x,x2>xx>1.3.(2009·苏、锡、常、镇四市模拟)已知集合A={x

4、x>5},集合B={x

5、x>a},若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是____.解析由题意可得A是B的真子集,故a<5为所求.a<5充分不必要4.(2010·南通模拟)已知a,b为不共线的向量，设条件M:b⊥(a-b);条件N:对一切x∈R，不等式

6、a-xb

7、≥

8、a-b

9、恒成立.则M是N的_____条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充

10、要”、“既不充分又不必要”)解析构造直角三角形OAB,AB⊥OB,其中a=,b=,xb=,则a-b=，当点D与点B不重合时,由斜边大于直角边得

11、a-xb

12、>

13、a-b

14、,当点D与点B重合时

15、a-xb

16、=

17、a-b

18、,反之也成立.充要【例1】(2010·宿迁调研)判断命题“若a≥0,则x2+x-a=0有实根”的逆否命题的真假.可先写出该命题的逆否命题,再判断其真假性;也可以利用命题间的关系,证明其等价命题间的真假性；还可以利用充要条件与集合的包含关系、相等关系解决.解方法一写出逆否命题,再判断其真假.原命题:若a≥0,则x2+x-a=0有实根,逆否命题:若x2+x

19、-a=0无实根,则a<0,典型例题深度剖析分析判断如下:∵x2+x-a=0无实根,∴Δ=1+4a<0,∴“若x2+x-a=0无实根,则a<0”为真命题.方法二利用命题之间的关系:原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)判断.∵a≥0,∴4a≥0,∴4a+1>0,∴方程x2+x-a=0的判别式Δ=4a+1>0,∴方程x2+x-a=0有实根,故原命题“若a≥0,则x2+x-a=0有实根”为真命题.又因原命题与其逆否命题等价,所以“若a≥0，则x2+x-a=0有实根”的逆否命题为真命题.方法三利用充要条件与集合的包含、相等关系判断.命题p:a≥0,q:x2+x-a=

20、0有实根,∴p:A={a∈R

21、a≥0},q:B={a∈R

22、方程x2+x-a=0有实根}={a∈R

23、a≥}.即AB,∴“若p则q”为真,∴“若p,则q”的逆否命题“”为真.∴“若a≥0,则x2+x-a=0有实根”的逆否命题为真.方法四设p:a≥0,q:x2+x-a=0有实根,则p:a<0,q:x2+x-a=0无实根,∴p:A={a∈R

24、a<0},q:B={a∈R

25、方程x2+x-a=0无实根}={a∈R

26、a<}.∵BA,∴“”为真,即“若方程x2+x-a=0无实根,则a<0”为真.∴“若a≥0,则x2+x-a=0有实根”的逆否命题为真.跟踪练习1(2008·

27、广东改编)命题:“若函数f(x)=logax(a>0且a≠1)在其定义域内是减函数,则loga2<0”的逆否命题是____________________________________________________________.若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0且a≠1)在定义域内不是减函数【例2】指出下列命题中,p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选出一种作答).(1)在△ABC中,p:∠A=∠B,q:sinA=sinB;(2)对于实数x、y,p:x+y≠8,q:x≠

28、2或y≠6;(3)非空集合A、B中,p:x∈A∪B,