命题及其关系、充分条件与必要条

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1、山东金榜苑文化传媒集团步步高大一轮复习讲义命题及其关系、充分条件与必要条件常用逻辑用语命题及其关系简单的逻辑联结词充分条件必要条件充要条件量词命题充分条件充要条件必要条件且∧全称量词存在量词全称命题特称命题或∨p∧qp∨qp⇒qp⇐qp⇔qp或q非四种命题原命题：若p则q逆命题：若q则p否命题：若p则q逆命题：若q则p互逆互逆互否互否互为逆否等价关系四种命题的相互关系忆一忆知识要点1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以__________的陈述句叫做命题.其中____________的语句叫真命题，_____________的语句叫假命题.判断真假判

2、断为真判断为假2.四种命题及其关系(1)四种命题原命题若p则q逆命题若q则p否命题若﹁p则﹁q逆否命题若﹁q则﹁p互为逆否同真同假互为逆否同真同假互逆互逆互否互否(2)四种命题间的逆否关系忆一忆知识要点原命题逆命题否命题逆否命题假真真真真真真真真假假假假假假假①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.(3)四种命题的真假关系忆一忆知识要点①pq,相当于AB,即从集合角度理解：(1)若pq,则p是q的____________.3.充分条件与必要条件(2)若qp,则p是q的___________.或②qp,相当于BA,

3、即(3)若qp,则p是q的___________.③pq,相当于A=B,即充分条件必要条件充要条件忆一忆知识要点(设集合A＝{x

4、x满足条件p},B＝{x

5、x满足条件q})或DC题号答案12345四种命题的关系及真假判断例1.以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号).①“若log2a>0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x,y都是偶数,则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价.

6、②④(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键;(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例.对于①，若log2a>0，则a>1f(x)＝logax在其定义域内是增函数;对于③，其逆命题是“若x＋y是偶数,则x,y都是偶数”,是假命题.有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题.其中真命题的序号为

7、________.①的逆命题是“若x,y互为相反数,则x＋y＝0”,真；①③②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”,假；③若q≤1，则Δ＝4－4q≥0，所以x2＋2x＋q＝0有实根,其逆否命题与原命题是等价命题,真；④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”,假.(2)p：x＋y＝8，q：x＝2且y＝6，∴p是q的充要条件.即q是p的充分不必要条件，显然qp，所以p是q的充分不必要条件.充分、必要、充要条件的概念与判断解:充分、必要、充要条件的概念与判断(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B,(4)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2,但x∈B一定有

8、x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件.所以pq故p是q的充分不必要条件.判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题.①④对于①,当数列{an}为等比数列时,易知数列{anan＋1}是等比数列;但当数列{anan＋1}为等比数列时，数列{an}未必是等比数列,如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①

9、正确；对于②，当a≤2时，函数f(x)＝

10、x－a

11、在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m＝3时，相应两条直线垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m＝3，也可能m＝0.因此③不正确；充要条件的证明例3.求证：关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.(1)条件已知证明结论成立是充分性，结论已知推出条件成立是必要性.(2)证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性.证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结