命题及其关系、充分条件与必要条1

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1、命题及其关系、充分条件与必要条件1.理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．[理要点]一、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句叫做命题．其中的语句叫真命题，的语句叫假命题．判断真假判断为真判断为假二、四种命题及其关系1．四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题否命题逆否命题若q，则p2．四种命题间的逆否关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性．三、

2、充分条件与必要条件1．如果p⇒q，则p是q的，q是p的．2．如果p⇒q，q⇒p，则p是q的．相同没有关系充分条件必要条件充要条件[究疑点]1．“命题的否定”与“否命题”一样吗？2．命题“若p，则q”的逆命题为真，逆否命题为假，则p是q的什么条件？提示：逆命题为真即q⇒p，逆否命题为假，即pq．故p是q的必要不充分条件．答案：A2．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题：若a>－6，则a>－3为假命题，则否命题也为假命题．答案：B3

3、．下列有关命题的说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是：“∀x∈R，均有x2＋x＋1>0”D．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题解析：命题“若x＝y，则sinx＝siny”为真命题，∴其逆否命题为真命题．答案：D4．判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆内接四边形；(2)在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，若b2

4、－4ac<0，则该函数图象与x轴有交点．解：(1)该命题为真命题．逆命题：若四边形是圆内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆内接四边形．真命题．逆否命题：若四边形不是圆内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．(2)该命题是假命题．逆命题：在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，若该函数的图象与x轴有交点，则b2－4ac<0.假命题．否命题：在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，若b2－4ac≥0，则该函数图象与x轴没有交点．假命题．逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴没有交点，则b2－4ac≥

5、0.假命题．[归纳领悟]1．在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．2．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中一个(或n个)作为大前提.[题组自测]1．(2010·陕西高考)“a＞0”是“

6、a

7、＞0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为

8、a

9、＞0⇔

10、a＞0或a＜0，所以a＞0⇒

11、a

12、＞0，但

13、a

14、＞0a＞0，所以a＞0是

15、a

16、＞0的充分不必要条件．答案：A2．设全集U＝{x∈N*

17、x≤a}，集合P＝{1,2,3}，Q＝{4,5,6}，则a∈[6,7)是∁UP＝Q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：若a∈[6,7)，则U＝{1,2,3,4,5,6}，则∁UP＝Q，若∁UP＝Q，则U＝{1,2,3,4,5,6}，结合数轴可得6≤a＜7.答案：C3．设有如下三个命题：甲：m∩l＝A，m，l⊂α，m，l⊄β；乙：直线m，l中至少有一条与平面β相交；丙：平面α

18、与平面β相交．当甲成立时，乙是丙的________条件．解析：由题意乙⇒丙，丙⇒乙．故当甲成立时乙是丙的充要条件．答案：充要(3)p：{x

19、

20、x

21、＝x}＝{x

22、x≥0}＝A，q：{x

23、x2＋x≥0}＝{x

24、x≥0或x≤－1}＝B，∵AB，∴p是q的充分不必要条件．[归纳领悟]充分条件、必要条件、充要条件的判定：(1)定义法①分清条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论；②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；③下结论：根据推式及定义下结论．(2)等价转化法条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断．注意：从集合的角度理解，小范围可以推

25、出大范围，大范围不能推出小范围.[题组自测]1．已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2