皮尔曲线模型的推广及其应用

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1、万方数据第34卷第7期数学的实践与认识v01．34No．72004年7月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYJuly．2()04皮尔曲线模型的推广及其应用叶宗裕【浙江师范大学工商管理学院．浙江金华32l004)摘要：在分析皮尔曲线模型增长特性的基础上，提出r14种推广模型，并依据这蝗模型建立r几剃t主要耐j{j消赞品拥有晴的预测模型．预测模型的精度很高．关键词：皮尔曲线模型；增长特性；推广模型；预测l引言皮尔(RaymondPearl)是美国生物学家和统计学家．以他的名字命名的曲线较好地描述了生物生长的过程和新

2、产品的销售过程，可以用来预测耐用消费品的拥有量．皮尔曲线也被称为logistic曲线，其模型可由微分方程鲁刊儿L—y)(1)解得．将(1)式分离变量并积分得圭ln点一舡+f(2)记是L一／)'(L一“，则(2)式化为lnFL=(f+阮(3)l-一)由(3)式解得f．y2f瓦F再(4)(4)式即为皮尔曲线模型，式中L，以，6是参数．具体应用时，根据j，的样本值，用(3)式进行线性回归，再用(4)式进行预测．由以上各方程容易看出：yo，f一+o。时，y—L，即y(f)单调增加，L是j，的增长上限(称为饱和量)．由少(f)=走j，

3、’(L一2y)=o得曲线(4)的拐点坐标为(一“肋，L／2)，即开始时y的增长速度不断加快，当y达到其饱和量的一半时，y的增长速度最快，其后增长速度将开始下降．皮尔曲线的这种增长特性符合各种耐用消费品拥有量的增长过程．但在具体建立预测模型时，其拟合效果并不理想，需要寻求另外的预测模型．2皮尔曲线模型的推广我们可以得到皮尔曲线模型的许多种推广形式，其增长特性与皮尔曲线相同，但具体过程却有所不同．这些模型能用于预测耐用消费品的拥有量．收稿日期l2003一ol一27万方数据7期叶宗裕：皮尔曲线模型的推广及其应用73推广模型1设y(￡)满足微

4、分方程鲁一是y(厄一行)分离变量并积分之，可得h瓦掣万～舶tql。一_YL(5)(6)(7)田y(￡)2u廿J得兵弼点纵坐标y一4』一／9．推广模型2(为节省篇幅，以下各模型仅写出分别同式(5)、(6)、(7)相对应的方程及拐点纵坐标)!孥=志／歹(L—y)，ln糕=口+缸，y=L(r莲雨一1)2，拐点纵坐标y=I．坞．推广模型3警=正行(仃一行)，ln(厄一行)一n+断，y=(厄叫+栅)z，拐点纵坐标y—L／4．推广模型4害一皇y江2一j，2)'ln参与一n+帆y一南，拐点纵坐标y一去．推广模型5象一皇y(F—y3)’ln矛与一日+

5、∽y=嘉，拐点纵坐标y一寺．类似地还有害=是y(∥一y4)，ln南一口+断，y=南，拐点纵坐标y一弓导等．推广模型6象一缸2四，』等型一以+＆，y=了志，拐点纵坐标y=』塑^。。推广模型7等一皇y(1nL—ln∥)，lnln多=以+断，y—Lel“钾，拐点纵坐标j，=L儿．这就是著名的龚珀兹(BenjaminGompertz)曲线模型．推广模型8鲁=blny(1nL～lny)，ln忐=盘+断，y一三去，拐点纵坐标j，满足方程lnL=盟袢．推广模型9鲁=blny(伺：一瓜歹)，点纵坐标y满足方程lnL一(署鼍书)2lny．h志⋯钒y=L

6、南，拐推广模型10鲁呐何(InL“儿ln糕=a仙，lny=(1一南)2lnL，拐点纵坐标y满足方程lnL=望％拌．万方数据万方数据7期叶宗裕：皮尔曲线模型的推广及其应用75序列y计算时间序列T—ln南，将序列．r对时间f进行线性回归，回归方程为‘。．，．毒一一12．96586+O．718282￡，￡一1，2，⋯，18所以电话机拥有量的预测模型为0一一兰Z星!竺。扩FF_≯丽丽项丽丽其预测的平均绝对百分误差(MAPE)为12．34，而1994—2002年的MAPE仅为5．52，表明预测精度较高．例21986—2001年全国城镇居民家庭平

7、均每百户电冰箱拥有量(台)如表2，试建立适宜的预测模型(资料来源：中国统计年鉴)．表2年份台数62．1从折线图可以看出，拐点坐标为(1989，36．47)．通过对各模型进行试计算，选用推广模型12作为预测模型，预测精度最好．其计算过程如下：将拐点纵坐标j，236·47代人拐点纵坐标方程lnlnL—lnIny+采若玎，可得饱和量L一1t、r87．41．由序列y计算序列z—Inln羔，将序列z对时间f进行线性回归，回归方程为⋯／童=一O．499164—0．227926f，￡一1，2，⋯，16所以电冰箱拥有量的预测模型为ln0一ln87．4

8、1×e—e叫。49口164刈22792甜其预测的MAPE仅为3．83，而1992—2001年的MAPE更低达o．72，预测精度很高．例31986—2001年全国城镇居民家庭平均每百户彩色电视机拥有量(台)如表3，试建立适