割补法在高中立体几何解题中的应用_方清

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1、２０１３年第５期中学数学教学４３割补法在高中立体几何解题中的应用安徽省舒城中学方清（邮编：２３１３００）摘要本文通过教学过程中的常见实例展示了割补法在高中立体几何解题中的具体应用．关键词割补法；立体几何；解题割补法就是通过几何体的分割或补形进而３正方体棱长为１，从而外接球半径Ｒ＝槡，得Ｓ球２发现未知几何体和已知几何体内在联系的一种＝３π．故选Ａ．方法．这种方法蕴含了一种构造思想，同时也反变式１三棱锥Ｐ－ＡＢＣ满足ＰＡ＝ＰＢ＝应了对立统一的辩证思想．掌握这种方法对培养学生的数学素养及创新意识都有重要意义．本文ＰＣ＝２

2、，ΔＡＢＣ为正三角形，其边长为２槡２，四个将通过教学过程中的常见实例来谈谈割补法在顶点在同一球面上，求此球的体积．高中立体几何解题中的具体应用．通过实例的一变式２四面体Ｓ－ＡＢＣ的三组对棱分别相一展现，对学生的立体感培养和思维拓展是有一等，且依次为２槡５，槡１３，５，求四面体Ｓ－ＡＢＣ的定帮助的．体积．１补形法例２如图１，几何体补形法是将原图形补成一个新的几何体，在ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨ是一个平面新的几何体中研究图形性质及数量关系的一种截长方体的剩余部分，已知方法．ＡＢ＝４ＢＣ＝３，ＡＥ＝５，ＢＦ１．１构造正方体或长方

3、体＝８，ＣＧ＝１２，求几何体例１（２００３年全国卷，理１２）一个四面体的ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨ的体积．分析首先通过梯形ＡＣＧＥ，ＢＦＨＤ的中所有棱长都为槡２，四个顶点在一球面上，则此球位线重合，可以求得ＤＨ＝９，分别延长ＡＥ，ＢＦ，的表面积为（）ＣＧ，ＤＨ到Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′，使得ＡＡ′＝ＢＢ′＝ＣＣ′＝Ａ．３πＢ．４πＣ．３槡３πＤ．６πＤＤ′＝１７，可得ＥＡ′＝１２，ＦＢ′＝９，ＧＣ′＝５，分析１设ΔＡＣＤ的重心ＨＤ′＝８，故长方体ＡＢＣＤ－Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的体积是为Ｅ，则球心在线段ＢＥ上，可几何体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨ

4、的２倍．在直角三角形中求解，但计算１１故ＶＡＢＣＤ－ＥＦＧＨ＝ＶＡＢＣＤ－Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′＝·３·４·较麻烦．２２分析２将正四面体１７＝１０２．ＡＢＣＤ补成正方体，则正四面体、正方体的外接例３在多面体ＡＢＣＤＥＦ中，已知面ＡＢＣＤ３球为同一个球．因为正四面体的棱长为槡２，所以是边长为３的正方形，ＥＦ／／ＡＢ，ＥＦ＝，ＥＦ与２４４中学数学教学２０１３年第５期面ＡＢＣＤ的距离为２，求该多面体的体积．底面积为Ｓ，高为ｈ，其体积Ｖ＝Ｓｈ．则三角形分析从题目的条件，体积是确定的﹙祖堩１ＡＥＦ的面积为Ｓ．４定理﹚．可以在正方体

5、中作出这个图形（图略）．１ＳＳ１５由于ＶＡＥＦ－Ａ１Ｂ１Ｃ１＝３·ｈ·（４＋Ｓ＋２）＝ＶＡＢＣＤＥＦ＝Ｖ棱柱－Ｖ棱锥＝．２７变式３过正方形ＡＢＣＤ的顶点Ａ作ＰＡ⊥Ｓｈ，则剩余不规则几何体的体积为Ｖ′＝Ｖ－１２平面ＡＢＣＤ，设ＰＡ＝ＡＢ，求平面ＰＡＢ和平面７５ＶＡＥＦ－ＡＢＣ＝Ｓｈ－Ｓｈ＝Ｓｈ，所以两部分的１１１１２１２ＰＣＤ所成二面角的大小．体积之比为ＶＡＥＦ－ＡＢＣ：Ｖ′＝７：５．分析此图可补成正方体，∠ＡＰＤ即为所１１１２分割法求“无棱二面角”的平面角，为４５°．这种方法是将几何体分解为若干个部分，再１．２构造

6、其他几何体利用部分与整体的关系来解题．例４如图３，一圆柱被一平面所截，已知被例６已知三棱锥Ｐ－ＡＢＣ，其中ＰＡ＝４，截后几何体的最长侧面母线长为４，最短侧面母ＰＢ＝ＰＣ＝２，线长为１，且圆柱底面半径长为２，求该几何体的∠ＡＰＢ＝∠ＡＰＣ体积．＝∠ＢＰＣ＝６０°求：三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的体积．分析１作ＢＣ的中点Ｄ，连接ＰＤ、ＡＤ，过Ｐ作ＰＨ⊥ＡＤ，易证分析如图４，将一个完全相同的几何体与Ｈ为△ＡＢＣ的垂足，ＰＨ即为三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的已知的几何体拼在一起组成一个高为５的圆柱，１高，由棱锥体积公式ＶＰ－ＡＢＣ＝ＳΔＡＢＣ·Ｐ

7、Ｈ即得３那么所求几何体的体积就是这个圆柱体积的三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的体积．一半．分析２利用直截面．面ＰＡＤ是直截面，１２Ｖ＝×π×２×５＝１０π．２１ＶＰ－ＡＢＣ＝ＳΔＰＡＤ·ＢＣ，求出ＢＣ和直截面ＰＡＤ３例５如图５，在三棱的面积即可．柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中，Ｅ，Ｆ分析３上述两种解法，都不可回避地需要分别为ＡＢ，ＡＣ的中点，平求解ΔＰＡＤ的面积，而偏偏ΔＰＡＤ不是一个规则面ＥＢ１Ｃ１Ｆ将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积的三角形，ΔＰＡＤ的三边分别是４，槡１１，槡３，面积之比．求解有点麻烦．如图延长ＰＢ、ＰＣ至Ｅ、Ｆ

8、，使ＰＥ分析延长Ｂ１Ｅ、Ｃ１Ｆ交于一点Ｇ，则Ｇ在＝ＰＦ＝４，则三棱锥Ｐ－ＡＥＦ是正三棱锥，易证直线Ａ１Ａ上，故ＡＥＦ－Ａ１Ｂ１Ｃ１为台体，设棱柱ＢＣ是边ＥＦ上的中位线，２０１３年第５期中学数学教学４５则ＢＣ：ＥＦ＝１，例８如图１０，已２知正方体ＡＢＣＤ－１ＳΔＰＢＣ：ＳΔＰＥＦ＝４·Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的棱长为ａ，又三棱锥Ａ－Ｅ、Ｆ分别是棱ＡＡ′和ＰＢＣ与三棱锥