方法3.9 构造函数法（讲）-2017年高考数学（文）二轮复习讲练测（解析版）

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1、【方法阐述】函数思想，是指运用函数的概念和性质，通过类比联想转化合理地构造函数，然后去分析、研究问题，转化问题并解决问题。因此函数思想的实质是用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数量特征，建立函数关系。   函数思想在数学应用中占有重要的地位，应用范围很广。函数思想不仅体现在本身就是函数问题的高考试题中，而且对于诸如方程、三角函数、不等式、数列、解析几何等问题也常常可以通过构造函数来求解。   构造函数方法在高中数学中已有了比较广泛的应用，它是数学方法的有机组成部分。是历年高考的重点和热点,主要依据题意,构造恰当的函数解决问题

2、。首先解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，用函数的观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到一种科学的解题途径。其次数量关系是数学中的一种基本关系。现实世界的复杂性决定了数量关系的多元性。因此，如何从多变元的数量关系中选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在。下面我们举例说明构造函数的方法在解题中的应用。一．构造函数比较大小例1.【广东省惠州市2017届第二次调研】已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当成立(是函数

3、的导函数),若，，,则的大小关系是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！，，，，故选A.例2.【四川省资阳市2017届高三上学期第一次诊断】已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则（）A．B．C．D．【答案】B二．构造函数证明不等式例3.【2016高考四川文科】设函数，，其中，e=2.718…为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；（Ⅲ）确定的所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立.【答案】（1）当时，<0，单调递减

4、；当时，>0，单调递增；（2）证明详见解析；（3）.【解析】（I）<0，在内单调递减.由=0，有.当时，<0，单调递减；当时，>0，单调递增.（II）令=，则=.学科网名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！三，构造函数解决数列中的有关问题例4.【2015高考广东，理21】数列满足，(1)求的值；(2)求数列前项和；(3)令，，证明：数列的前项和满足．【答案】（1）；（2）；（3）见解析．名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！（3）依题由知，，，∴，[来源:学_科_网]记，则，∴在上是增函数，又即，又且时，，∴

5、即，∴，，…，，即有，∴，即．四、构造函数求参数的范围例5.【山西省孝义市2017届高三上学期二轮模考】已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（）A．B．C.D．【答案】C【解析】由题意，得，则＝－＝．若存在，使得，则，所以．设，则，当时，名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当，函数取最大值，最大值为，所以，故选C．学科网例6【2015高考新课标2，理21】（本题满分12分）设函数．[来源:Z+xx+k.Com](Ⅰ)证明：在单调递减，在单调递增；（Ⅱ）若对于任意，都

6、有，求的取值范围．【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）．（Ⅱ）由(Ⅰ)知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值．所以对于任意，的充要条件是：即①，设函数，则．当时，；当时，．故在单调递减，在单调递增．又，，故当时，．当时，，，即①式成立．当时，由的单调性，，即；当时，，即．综上，的取值范围是．学科网五、构造函数研究方程的根或函数的零点例7【2015高考北京，理14】设函数①若，则的最小值为；②若恰有2个零点，则实数的取值范围是．名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！【答案】(1)1，(2)或.②若函数与轴有无交

7、点，则函数与轴有两个交点，当时与轴有无交点，在与轴有无交点，不合题意；当时，，与轴有两个交点，和，由于，两交点横坐标均满足；综上所述的取值范围或.例8.【2016高考上海文数】已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【答案】（1）．（2）．（3）．名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！[来源:Z+xx+k.Com]（3）当时，，，所以在上单调递减．函数在区间上的最大值与最小值分别为，．即，对任意

8、成立．因为，所以函数在区间上单调递增，时，有最小值，由，得．名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！故的取值范围为．六．构造函数在解析几何中的应用[来源:学_科_网]例9.【河南省天一大联考2017届高中毕业班阶段性测试（二）】等腰直角△内接于抛物线，为