第4讲[1].定义新运算.教师版

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1、第四讲定义新运算一定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与

2、一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合模块一、直接运算型【例1】若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。【解析】A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结

3、果求乘积。由A*B＝（A＋3B）×（A＋B）可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12＝26×12＝312【巩固】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）【解析】所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7【巩固】设△，那么，5△______，(5△2)△_____.【解析】,【巩固】、表示数，表示与的平均数，求3(68)【解析】5年级·第4讲·教师版page7of7【

4、例1】规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）&5]×[5◎（3&7）]【解析】新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。[（7◎6）&5]×[5◎（3&9）]＝[6&5]×[5◎9]＝6×5＝30【巩固】我们规定：符号表示选择两数中较大数的运算，例如：53=35=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：的结果是多少？【解析】【例2】[A]表示自然数A的约数的个数.例如,4有1,2,4三个约数,

5、可以表示成[4]=3.计算:=.【解析】因为有个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2.原式.【巩固】x为正数,表示不超过x的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是.【解析】<19>为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.<93>为不超过的质数,共24个,易知<1>=0,所以，原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11.【巩固】定义运算“△”如下:对于两个自然

6、数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12=.【解析】18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42.【例3】已知a,b是任意自然数,我们规定:a⊕b=a+b-1,,那么.【解析】原式【例4】（第五届“华杯赛”复赛）羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在

7、一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算.运算的结果或是羊，或是狼．求下式的结果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)【解析】因为狼△狼=狼，所以原式=羊△(狼☆羊)☆羊△狼无论前面结果如何，最后一步羊△狼或者狼△狼总等于狼，所以原式=

8、狼【例5】（北京市“迎春杯”）对于任意的整数x与y定义新运算“△”：,求2△9。【解析】根据定义于是有5年级·第4讲·教师版page7of7【巩固】“*”表示一种运算符号，它的含义是：，已知，求。【解析】根据题意得，所以模块二、反解未知数型【例1】如果a△b表示,例如3△4,那么,当a△5=30时,a=.【解析】依题意,得,解得.【巩固】规定新运算※:a※b=3a-2b.