第7章 多项式环

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1、第7章多项式环§1一元多项式环观察下列表达式有什么不同之处：其中是一个符号；（1）其中；（2）其中。（3）由及，从（2）、（3）式分别得出（4）（5）（4）的左右两边相等，但所含有的关于的项却不相同；同样（5）的左右两边相等，但所含有的关于的项却不相同。对于，当是一个符号时，只能是，即相等的两个表达式含有相同的项，此时称为一个多项式，而都不能称为多项式。1.多项式的定义设是一个数域，是一个不属于的符号（也称为不定元）。任意给定一个非负整数在中任意取定，称表达式（6）为数域上的一个一元多项式，其中称为次项，常数项也称为零次项。两个一元多项式相等当且仅当它们的同次项的系数对应相等。系数全为零的

2、多项式称为零多项式，记为。2.多项式的次数：用表示（6）式中的多项式。如果，则称为多项式的首项，称为的次数，记为亦即，一元多项式的次数就是系数不为零的项的最高次数。当首项系数时，也称为首一多项式（补充）。零多项式的次数规定为，即；非零常数是零次多项式，次数为零。约定：3.多项式的运算记数域上的所有一元多项式组成的集合为。在中任取，，不妨设，则其中时，（7）（8）称是与的和与差，称是与的积。多项式的加法与乘法满足下列运算法则：，有1°加法交换律：；2°加法结合律：；3°加法有零元：；4°加法有负元：设，定义，称为的负元，它满足5°乘法交换律：；6°乘法结合律：；7°乘法有零单位元1：；8°乘

3、法对加法满足左、右分配律：；。注意试比较整数的加法与乘法、矩阵的加法与乘法，和多项式的加法与乘法的相似之处。又再比较它们和向量的运算之间的差别。命题1（次数定理）任给，都有；（10）（11）9°乘法消去律：（1）由或；等价于由（2）由且证明：（1）由有，即。由这只能是或，即或。（2）。由（1）当时可推出，即。4.环的定义设是一个非空集合，如果它有两个代数运算，一个叫做加法，记作，另一个叫做乘法，记作；并且这两个运算满足下面6条运算法则：，有1°加法交换律：；2°加法结合律：；3°加法有零元：存在，使得；4°加法有负元：对于，中有元素，使得，称是的负元，记作，从而有；5°乘法结合律：；6°乘

4、法对加法满足分配律：；。则称是一个环。最典型的环有：整数集合、全体一元多项式的集合和全体阶方阵的集合，分别称为整数环、一元多项式环和全阵环。子环：环的一个子集如果也构成一个环，则称它为的一个子环。子环的判定定理：环的一个非空子集成为一个子环的充分必要条件是，对于的减法与乘法都封闭，即。给定，称为的一个多项式，它是由多项式将换成得到的。的多项式全体记为，即。不难验证满足环定义中的6条，因而是一个环，且是的子环。5.的“通用性质”“通用性质”不要求详细掌握，只要求了解，具体含义见教材第7页中间一段的文字解释：设是一个有单位元的交换环，则中所有通过加（减）法和乘法表示的关系式，在不定元用中的任何

5、一个元素代人后仍然保持成立。分别取和，举例说明。例1设是数域上的阶幂零矩阵，其幂零指数为令，证明可逆，并且求。§2整除性与带余除法1.整除的定义设，如果存在，使得，则称整除，记作；否则，称不能整除，记作因式与倍式：当整除时，称为的因式，称为的倍式。注：1°当且仅当，即只有，当时，不整除；2°，都有；3°，，都有。用表示中全体非零常数组成的集合。2.多项式的相伴：在中，如果同时有，成立，则称与相伴，记作～。命题1在中，～当且仅当存在，使得命题2在中，如果，则对于任意，有3.带余除法：当不能整除时，有定理3（带余除法定理）对于中的任意两个多项式与，其中，在中都存在唯一的一对多项式与，使得，其中

6、（3）（3）式中的称为除（或被除）的商式，称为除的余式。证明分存在性和唯一性两部分证明。（1）存在性记注意有1°当时，。取，，有，定理成立。2°当，且时。取，，，定理成立。3°当，且时。对作数学归纳法。假设对次数小于的多项式，命题的存在性部分成立。现在看次数为的多项式。采用“首项消去法”。设，的首项分别是。于是的首项是（与的首项相同）。令，（4）则根据归纳假设，存在，使得，且(5)将（5）式代入(4)式，得（6）令，，则，且（7）根据数学归纳法原理，定理3的存在性部分得证。（2）唯一性。设，使得，且（8），且（9）从（8），（9）得（10）于是由次数定理有（11）从而，只能，于是，即从而又

7、有唯一性得证。定理3（带余除法定理）对于中的任意两个多项式与，其中，在中存在唯一的一对多项式，使得，且（3）（3）式中的称为除（或被除）的商式，称为除的余式。例1用除，求商式和余式，其中，。推论4设，且，则当且仅当除的余式为零。注意：推论4给出了判断两个多项式是否整除的方法，即用带余除法，只要余式为零，则它们整除，否则，不整除。4.综合除法：当除式是一次多项式的形式时，带余除法可以简化为所谓的“综合除法”。它主要的简化步