近世代数课件--3.6多项式环

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1、内容提要:6.1多项式环6.2一元多项式环6.3未定元的存在性6.4多元多项式环§6多项式环我们已经有了一般环的定义,现在要认识一种特殊的环多项式环,这种环在数学里占一个重要的地位。本节假定是一个有单位的交换环，是的子环，并且包含的单位元。比如,为复数环(域),为整数环.6.1多项式环的多项式在里取出一个元来，那么有意义，是的一个元。定义1一个可以写成形式的元叫做R上的一个多项式。叫做多项式的系数。注1：多项式常用表示.注2：的多项式的表示形式不唯一(举例),因此不定义次数.原因在什么地方?多项式环记={所有R上的的多项式}.我们要注意，对于，所以当我们只考虑的有限个

2、多项式的时候，可以假定这些多项式的项数(注:没有说次数),都是一样的。因此，的两个元相加相乘适合以下公式：这两个式子告诉我们，对于加法和乘法来说都是闭的。进一步,所以是一个(子)环。定义2叫做R上的多项式环.注3：是包括R和的最小子环。注4：上面的的计算法正是初等代数里的多项式的计算法。6.2一元多项式环的多项式的表示形式不唯一的原因在于:当系数不都等于零的时候，很可能的多项式比方说，当的时候，取，，那么多项式`未定元定义3的一个元叫做R的一个未定元，假如在R里找不到不都等于零的元来，使得在这一节里，我们重要讨论未定元的多项式。注5：根据上述定义，R上的一个未定元的多

3、项式（简称一元多项式）,只能用一种方法写成的形式（不计系数是零的项）。定义4令是环R上一个一元多项式。那么非负整数n叫做这个多项式的次数,表示为。注6：多项式0不定义次数。注7：,例1R是整数环，是复数域,在上发现一些R的未定元.例2(上可能没有R的未定元)R是整数环，是包含所有的整环，这时对的每一个元来说，都有6.3未定元的存在性定理1给了一个有单位元的交换环R，存在一个包含R的环P,使得在P上一定有R上的未定元存在.证明(省略)我们非三步来证明这个定理。1.首先我们利用R来作一个环。我们让刚好包含所有无穷序列，这里，但只有有限个我们限定：只在时，我们规定一个加法：

4、显然这是一个的代数运算，而且对于这个加法来说作成一个加群。这个加群的零元是。我们再规定一种乘法：这里显然这也是一个的代数运算，并且这个乘法适合交换律。这个乘法也适合结合律：叫那么，照乘法的定义，把计算一下，可以得到同样的结果。这两个代数运算也适合分配律：叫那么，由加法和乘法的定义，把算出来，显然会得到同样的结果。这样作成一个交换环。在里我们有等式（1）由这个式子我们可以得到这就是说有单位元。2.第二步我们利用来得到一个包含R的环P。由等式（1），我们可以得到（2）由加法的定义，我们有（3）（2）和（3）告诉我们，全体形式的的元作成一个子环，并且是与R间的一个同构映射。

5、因为R同根本没有同元，由Ⅲ，5，定理4，我们可以用R来代替，而得到一个包含R的环P；P也是有单位元的交换环，并且P的单位就是R的1。3.最后我们证明P包含R上的未定元。令我们说，（4）当时，这个式子显然是对的。假定对于，式子是对的。那么，但这里只有和等于1，其余都等于零，所以除了在这个和里有一项以为，其余到处都是零，因此现在假定在P里。那么在里这样，由（4）和（1），因而这正是说，是R上的未定元。证完。6.4多元多项式环多项式概念的推广方法1.递推法.我们从里的任意取出个元来，那么我们可以作R上的的多项式环，然后作上的的多项式环。这样下去，可以得到。这个环包括所有可以

6、写成(*)方法2.直接法定义5一个有（*）的形式的元叫做R上的的一个多项式。叫做多项式的系数。表示R上的所有的多项式,它构成环.我们容易看出，在里，两个多项式相加相乘适合以下计算法：这里同上面类似，我们有无关未定元及多元多项式环定义5的个元叫做R上的无关未定元，假如任何一个R上的的多项式都不会等于零，除非这个多项式的所有系数都等于零。定理2给了一个有单位元的交换环R同一个正整数，一定有R上的无关未定元存在，因此也就有R上的多项式环存在。同态与代入法定理3假定和都是有单位元的交换R上的多项式环，是R上的无关未定元，是R上的任意元。那么与同态。证明我们用来表示的元用来表示

7、的元那么(1)是到的一个满射。因为：给了一个的元y由于是无关未定元，只有一种方法可以把y写成多项式。这样，依照我们的规定，y只有一个象，就是。另一方面，显然这个映射是一个满射。(2)保持运算.由于在或里两个多项式的相加或相乘是适合同一规律的，以上映射是同态映射。证完。定理3告诉我们一个重要的事实，若的若干个元，之间有一个由加法和乘法计算得来的关系存在，那么用任意n个元去代替这个关系仍然成立。这正是说代入的可能正是普通多项式的一个重要性质。作业:1,24(i)设和都是R的未定元.那么,