有限交换环上的n元多项式

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1、致谢本文是在我的导师张起帆教授的悉心指导下完成的，他‘的许多重要工作和思想都是本文的基础．同时也感谢张起帆教授与彭国华教授三年来对我始终不渝的关心，鼓励，教诲和帮助使我顺利完成学业．他们的高尚师德，严谨学风和深邃洞察力给予我深刻的启迪和影响，使我终身受益．在此，向张老师和彭老师表示最诚挚的敬意和感谢!衷心感谢蒋剑军师兄对我的关心和热情帮助，以及在对我论文提出的诚挚建议，在此，表示深深的谢意!感谢所有关心、支持和帮助我顺利完成学业的老师，讨论班的同学和朋友．也感谢我的家人多年来对我的理解和支持．．第一章引言人们早就知道，有限域上的单变量函数一定是多项式函数(【8】)．那么—个自然的问题就是

2、t任意有限交换环R上的函数也一定是多项式函数吗?考虑R=z／fz(f>1)以及其上的函数t地，=Rz=0z≠0可以知道，(∞不是多项式函数，因为对任意多项式tF(￡)=ao+口lz+啦矿+⋯(唧∈z／?z)有F0+p)iFp)(rood力，但对尘∈z／fz，，忙+p)雾，(z)(modp)于是就有了相应的问题·1．有限交换环R上的函数。在什么条件下是多项式函数?2．环R上多项式函数的个数?关于这两个问题，目前已经得到丰富的结论．例如对R=z／fz，Kempner(【6J)于1921年得到了其上多项式函数判定的充要条件。以及多项式函数个数的计算公式．此后Carlitz([11)和Rosen

3、berg([91)分别重证了这个结论．而后张({1311将类似结论推广。得到了多项式函数判定条件，蒋([4J)则在此基础上将结果更是推广到了有限交换局部环上．我们在本文中主要讨论同题1。首先在张(【131)的基础上。利用Teichmiiller元素的性质，解决了特殊有限交换环上n元多项式函数的判定同题．而后在蒋(14】)的基础上，得到有限交换局部环上n元多项式函数的判定条件．同时我们知道，任意有限交换环R都同构于有限个有限交换局部环的直和。R=oR．因此R上—个函数是多项式的当且仅当该函数在每一局部环忍上是多项式的，因此对R上，l元多项式函数的判定就相应的化简为足上的判定问题．相应的在确

4、定了多项式函数的情况下，又有了置换多项式的判定及其个数问题．虽然一般的多项式函数理论比置换多项式理论出现稍晚一些，但置换多项式理第2页论依然是多项式函数理论中的的一部分．而这些问题一直以来是数论中重要分支，在组合、图论、编码学．密码学等领域有着广泛的应用．第二章预备知识§2．1基础知识在引言中提到过利用有限交换环的结构定理。可以将问题1简化到有限交换局部环上tO论。下面先介绍局部环的定义．需提到的是此后所指的环都指带1的环．定义2．1．1伊彻仅有一个极大理想的非零环叫做局部环．仅有有限多个极大理想的非零环叫做半局部环．由定义可知。每个非零有限环均是半局部环．定理2．i．1班71)设M是环

5、R的理想，且M≠忌则下列条件等价·J．R是局部环。且M是R的唯一桩大理想．2R＼M=矿(R)，v(R)记为R的单位群．只M是冗的桩大理想。且l+M∈U(R)．倒2．1．1设M是环矗的极大理想，则商环R／M”为局部环，其唯一极大理想为朋／朋“．接下来介绍有限交换环的结构定理．定理2．1．2们耖有限变换环可表示成有限个有限交换局部环的直和．在证明这一定理前，先引入Artia环的结构定理·定理2．1．3(／1例每个Artin环R可表示成有限个Artin局部环忍的直和tR=R10⋯o冠。．又若R=碍0⋯0碥。其中冠均是Artin局部环，则n=m。且有l，2，⋯，n的一个i换矿。使得风皇弼(‘)(

6、环同构)’i；1，⋯，n．由([161)有限环和域即是Noether环，也是Artin环，即可证明定理2．1．2．§2．1基础知识第4页例2．1．2设P是素敷。则z／fz是有限交换局部环。其唯一的极大理想是pz／fz．下面引入第三章中所需要的知识，定义2．1．2(II鲫令Ⅳ是锡上有限扩张。令A=伽∈KI

7、zl，≤1)，M；忙∈Kllzf，<1)．则有A是K上的整环，M是A的唯一极大理想，且存在”∈z斗，使得A／M笔日，口=矿．令A。；扣∈AlIzI，；1)，对任意a∈A。．存在唯一的以满足a-d∈M且一是X口-X的根。称一是a+M的Teichmdller提升．设A是交换环，J为其理想。A

8、／I是关于A一模，的商环，P是，的n次幂．显然的，J是A一模，P是A一模J的子模。于是有子模链，A≥J≥J2≥⋯≥P≥⋯引理2．1．1，缈砷任意的正整数n，A一商模P／P+1在自然方式下是州J一模一任意的f∈A／I和a∈P／p1，定义运算为，af=Kr其中rEA，口∈P．特别地。若，是A的一个极大理想，则P／P+1是a／t上的线性空间．证明一先证明上述州j在p／P+1上的自然作用是良定义的·对任意的r'8∈A，n，b∈P，其中r圭0