非结构网格上新型ND有限元格式N

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1、{t?／，／(If—J弓，r-n空气动力学学报Vo1．16．No,1茕嚣辈期AUrAAER0DYN^^ⅡCASINICAMar．．1998ID非结构网格上新型的NND有限元格式吴望一蔡庆东北京大学葺^程科_100871摘要张涵信0发展的NND差分格式是由中心差分格式、二阶迎风格式和～阶迎台组成的杂交型格式。众所周知，和中心差分格式相对应的是Cralerktn有限元格式。通过对中心型有限元格式加修正项的方法本文成功地构造出二阶迎风型有限元格式和一阶迎风型有限元格式。通过在非结构网格上实现导数的单例有限元计算，使得判断间断前后和实现=阶迎风型有限元

2、格式成为可能本文将这些格式组合起来，首次得到了非结构网格上的无波动无自由参数耗散性的有限元格式，即NND有限元格式通过若干个典型韵二堆踌声建和超声建可压缩无粘瀛动曲算例证明这确是一个高精度的，对激波具有高分辨率的无波动的新型有限元格式特别是，与网格自适应相结合，可得到十分满意的结果。美键词}非结构阿格中圈分类号O241。3，03,540引言在计算空气动力学中，差分方法以其基础深厚，适应性广，简便高效，计算量小等优点占据主导地位。差分方法的不足之处在于它对于复杂的边界在网格生成上比较麻烦，缺乏统一的方法，也难于作嘲格自适应而60年代兴起的有限元方

3、法正是在这些方面具有无可替代的优点，它可以方便地在任意区域生成非结构网格，算法统一，便于编制通用软件，特别是它能方便地进行网格自适应处理。此外，由于有限元法采用积分形式，通过分部积分使方程降阶，在计算涉及壁面流动梯度如摩阻、热流、质量流等一些物理量时具有较高的精度。正是由于这些优点，近年来，有限元法在计算空气动力学中得到迅速的发展众所周知，当我们采用有限元法数值模拟具有间断的可压缩高速流动时，如果采用=阶或二阶以上的格式时，在间断附近会产生非物理性的数值波动。为了消除数值波动，和差分法一样在有限元中经历了从高阶格式加人工牯性，高低阶格式结合和高

4、阶TVD格式的发展过程。DoneaEz3首先针对标量方程提出了Taylor—Galerkin有限元法，并对有限元方程采用对角化技术，迭代求解L5hner~s在此基础上针对多维问题提出了二步的Tayloi—Oalerkin有限元格式。在一维情形，该格式退化为差分法中的Lax—wendroff格式对于包含强间断的气动问题，引人人工牯性修正，并通过咧格的局部加密来提高间断的分辨能力。采用上述高阶格式加人工牯车丈于1997年3月d日啦列，5月lO日啦列惨改蔷。2空气动力学学报(1998年)第l6眷性的方法能够达到消除波动的目的，而且熵增条件得到满足。但

5、是，此方法分辨率低，间断粮宽为了提高分辨率，hn[钉又进一步将Boris和Bo。k[∞及Zalesak[目等人在差分法中发展起来的FCT方法推广到有限元中去，设计了流量修正有限元格式~-FCT。该格式将高阶格式和低阶格式结合起来，使之在变量变化平滑的区域采用高阶格式，而在变量变化剧烈的区域将二者结合起来，采用阶次低一些的格式。数值计算表明，该方法在抑制间断附近的波动上是有效的。对跨声速和超声速流动都能给出较好的结果，间断的宽度较窄，明显优于人工牯性方法。FCT有限元方法的缺点在于在出现数值波动时，低阶格式使用得较多，使总体精度降低。此外，它总是

6、在间断的某一侧不满足熵增条件为了提高分辨率，进一步提高精度，并使熵增条件得到满足，人们自然地想到是否能将差分法中发展的高分辨率、高精度的无波动格式如TVD[V]，ENOE。，NNDE]等推广到有限元中去。Hushe~En通过在权函数中引人修正函数的方法得到了相当于I-Iarten的TVD有限元方法。ArminjonE则通过在有限元中引人了TVD型的人工牯性构造了另一类TVD有限元格式。1988年张涵信口]首次在差分方法中提出了无波动无自由参数耗散性差分格式即NND格式。他从物理上对间断处产生的非物理振荡做了分析，指出间断上下游数值解发生振荡与差

7、分格式修正方程中的三阶色散项和四阶耗散项的系数正负号有关，并据此构造出一类NND差分格式。大量算例表明，这种格式计算精度高，捕捉间断无波动。最近王岩[”]等在结构网格上将张涵信的NND方法推广到有限元中去并取得了较好的结果。众所周知，非结构网格是有限元法相对于差分法的优势所在，因此如何在非结构网格上构造出NND有限元格式是更为重要的课题，它更能体现有限元的特色，具有广阔的工程应用价值本文以后各节中我们将着力在非结构网格上构造NND有限元格式。1NND差分格式构造NND差分格式的主要思想可简述如下考虑模型方程害+=o(1)将它改写为+一0，一，，

8、=(2)它的二阶差分格式的修正方程为+=蚤3"u(3)将(1)中的通量，分成正的和负的两部分

9、一pf其中，士=a±，±一1(d士II)，：+。一，于是