一种非结构网格上基于径向基函数重构的ENO格式

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1、第40卷第1期2010年1月航空计算技术AeronauticalComputingTechniqueV01．40No．1Jan．2010一种非结构网格上基于径向基函数重构的ENO格式钱旭，宋松和，东晨(国防科技大学理学院，湖南长沙410073)摘要：基于二维Euler方程，对非结构三角形网格给出了一种基于紧支径向基函数重构的ENO型有限体积格式，方法的主要思想是先对每一个三角形单元构造插值径向基函数，而在计算交界面的流通量采用两点高斯积分公式以保证格式的整体精度，时间离散采用三阶TvDRunge．Kutta方法。最后用该格式对一些典型算例进行了数值模拟，结果表明该方法计算速度快，对间断有很

2、好的分辨能力。关键词：Euler方程；ENO格式；径向基函数；非结构网格；有限体积法中图分类号：0242．1文献标识码：A文章编号：1671．654X(2010)01．0025．04引言对无粘非定常流动，其积分守恒律表示在由一表面限定的体积内流体的质量、动量和能量的守恒。对于光滑解从积分守恒律可以得到散度形式的微分守恒律——Euler方程，但在流场中如出现激波等间断时，就不能得到等价的偏微分方程。故积分形式的守恒律是更根本的。对于非线性双曲型守恒律来说，无论初值多么光滑，随着时间的发展其解都可能产生强间断，因此如何得到在间断附近和光滑区域都具有高精度的解，成为数值模拟双曲型守恒律方程的关键

3、。有限体积方法(finitevolumemethod)，就是在物理空间中选定的控制体积上把积分形式的守恒律直接离散的一类数值方法，因此FVM在双曲型守恒律方程中运用较为广泛。1986年Haaen提出了无振荡格式(non—oscilla—tory)的概念和思想。次年，他和Engquist，Osher和Chakravathy等人提出了本质无振荡(essentiallynon．oscillatory)格式的方案和方法。之前的TVD格式虽然可以保持数值解的单调性，有效地控制间断附近数值解的振荡，但TvD格式一个明显弱点是在极值点处降阶，而ENO格式放宽了对数值解总变差不能增长的限制，允许总变差微小

4、增加，并使格式达到一致高阶精度且数值解基本不振荡。ENO格式的关键思想是自适应地选取插值节点来构造满足一定条件的插值多项式。再用所得的插值多项式来逼近交界面的流通量。传统方法都是利用插值节点来构造插值多项式，如果数据散乱，利用多项式进行ENO重构并不一定是最佳的选择。在实践中已经发现了多项式ENO重构的诸多问题，例如在一维情形由于“基点”选取过程的摆动所导致的不稳定性是很常见的。另外，在多项式ENO重构中，确定多项式的系数的线性方程组的条件数一般说来是不好的。本文提出在非结构网格上应用径向基函数于ENO型有限体积格式的重构步，这对解决某些散乱数据问题有较好的效果¨J。1二维Euler方程及

5、其离散1．1二维Euler方程二维Euler方程的守恒形式为笔+华+曼掣：0，函融巩其中，u是守恒物理量以u)是茗方向通量，g(u)是Y方向通量，U=ppupvE以U)=pupuu+ppuvu(E+p)，g(U)=pvpvupvv+pt7(E+p)而单位体积的总能E=彳％+如(M2+V2)，这里P，(u，秽)，P，E，7=1．4分别为流体的密度，流体速度，压强，单位体积的总能和绝热指数。1．2空间离散本文采用格子中心型的有限体积法格式口J，即将三角形单元本身作为控制体，见图1。收稿日期：2009—09—15基金项目：国家重点基础研究发展规划973资助项目(2009CB723802—4)，国

6、家自然科学基金资助项目(10971226)作者简介：钱旭(1985一)，男，重庆市人，硕士研究生，研究方向为偏微分方程数值解及其应用。航空计算技术第加卷第1期DAF图1三角形网格单元在控制体AABC上对(1)式积分，得詈(』Lua优dy)+_fk[抓㈨；+(g(㈨，]a比ay=0利用Green公式并化简，得：詈玩一南om)刊z=o其中UA口c2南J△膪cudn是u在△ABc上的网格平均值，IAABCI是AABC的面积，n是边界OABC的单位外法向量。设f加，Z。c，乙是AABC的边，n。。，n。。，甩翻是各边的单位外法向量，则有詈玩曰c2一TI王三西可(L。(，，g)’力一Bdz+J仃，g

7、)·nBcdl+J(f，g)·ncAdl)从而得到其半离散形式羞玑。c2￡(％c)2一商[日(k(‰)k(‰))·IAB+H(L脚(X口c)，L口co(X日c))·Z口c+H(L^。c(xc^)，L。凹(x“))·Z“](2)其中，日(形。，职)为数值流函数，x。。，x。。，x“为AB，曰C，翻的中点，L伽(X)表示物理守恒量U在AABC中的重构函数。1．2．1重构函数的构造比较常见的一种重构方法是基于线性多项式的，见图